Страница 20 номер 2.16, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
При каких значениях \(k\) векторы \(\vec{a}(4; k + 3; 10)\) и \(\vec{b}(k; 4; k + 9)\) имеют равные модули?
\[\begin{aligned} |\vec{a}| &= \sqrt{4^2 + (k + 3)^2 + 10^2} = \sqrt{k^2 + 6k + 125}; \\ |\vec{b}| &= \sqrt{k^2 + 4^2 + (k + 9)^2} = \sqrt{2k^2 + 18k + 97}. \end{aligned}\]
Подкоренные выражения неотрицательны (это суммы квадратов), поэтому модули равны тогда и только тогда, когда равны подкоренные выражения: \[\begin{aligned} k^2 + 6k + 125 &= 2k^2 + 18k + 97; \\ k^2 + 12k - 28 &= 0; \\ D &= 12^2 - 4 \cdot (-28) = 256; \\ k_1 &= \frac{-12 - 16}{2} = -14; \\ k_2 &= \frac{-12 + 16}{2} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: \(k = -14\) или \(k = 2\).
При каких значениях \(k\) векторы \(\vec{a}(4; k + 3; 10)\) и \(\vec{b}(k; 4; k + 9)\) имеют равные модули?
Найдём модули векторов по формуле модуля вектора через его координаты: \[\begin{aligned} |\vec{a}| &= \sqrt{4^2 + (k + 3)^2 + 10^2} = \sqrt{k^2 + 6k + 125}; \\ |\vec{b}| &= \sqrt{k^2 + 4^2 + (k + 9)^2} = \sqrt{2k^2 + 18k + 97}. \end{aligned}\]
Подкоренные выражения неотрицательны (это суммы квадратов), поэтому модули равны тогда и только тогда, когда равны подкоренные выражения: \[\begin{aligned} k^2 + 6k + 125 &= 2k^2 + 18k + 97; \\ k^2 + 12k - 28 &= 0; \\ D &= 12^2 - 4 \cdot (-28) = 256; \\ k_1 &= \frac{-12 - 16}{2} = -14; \\ k_2 &= \frac{-12 + 16}{2} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: \(k = -14\) или \(k = 2\).
