Страница 20 номер 2.20, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Используя векторы, докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами в точках \(A(-4; 2; 5)\), \(B(-6; 3; 0)\), \(C(12; -8; 1)\) и \(D(14; -9; 6)\) является параллелограммом.
Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\): \(-6 - (-4) = -2\), \(3 - 2 = 1\), \(0 - 5 = -5\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-2; 1; -5)\). Координаты вектора \(\overrightarrow{DC}\): \(12 - 14 = -2\), \(-8 - (-9) = 1\), \(1 - 6 = -5\), то есть \(\overrightarrow{DC}(-2; 1; -5)\).
Соответствующие координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) равны, поэтому равны и сами векторы: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Эти векторы ненулевые, а равные ненулевые векторы имеют равные модули и сонаправлены. Значит, \(AB = DC\), а прямые \(AB\) и \(DC\) параллельны или совпадают. Совпадать они не могут: тогда все вершины четырёхугольника \(ABCD\) лежали бы на одной прямой, а вершины четырёхугольника на одной прямой не лежат. Следовательно, \(AB \parallel DC\).
Через две параллельные прямые проходит плоскость, поэтому все вершины четырёхугольника \(ABCD\) лежат в одной плоскости. Его противолежащие стороны \(AB\) и \(DC\) параллельны и равны, а четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, — параллелограмм.
Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — параллелограмм.
Используя векторы, докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами в точках \(A(-4; 2; 5)\), \(B(-6; 3; 0)\), \(C(12; -8; 1)\) и \(D(14; -9; 6)\) является параллелограммом.
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала. Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\): \(-6 - (-4) = -2\), \(3 - 2 = 1\), \(0 - 5 = -5\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-2; 1; -5)\). Координаты вектора \(\overrightarrow{DC}\): \(12 - 14 = -2\), \(-8 - (-9) = 1\), \(1 - 6 = -5\), то есть \(\overrightarrow{DC}(-2; 1; -5)\).
Соответствующие координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) равны, поэтому равны и сами векторы: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Эти векторы ненулевые, а равные ненулевые векторы имеют равные модули и сонаправлены. Значит, \(AB = DC\), а прямые \(AB\) и \(DC\) параллельны или совпадают. Совпадать они не могут: тогда все вершины четырёхугольника \(ABCD\) лежали бы на одной прямой, а вершины четырёхугольника на одной прямой не лежат. Следовательно, \(AB \parallel DC\).
Через две параллельные прямые проходит плоскость, поэтому все вершины четырёхугольника \(ABCD\) лежат в одной плоскости. Его противолежащие стороны \(AB\) и \(DC\) параллельны и равны, а четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, — параллелограмм.
Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — параллелограмм.
