Страница 13 номер 1.45, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(MABCD\) — пирамида, \(ABCD\) — прямоугольник
ребро \(MA\) перпендикулярно плоскости \(ABCD\)
\(AB = 3\) см
\(AD = 4\) см
\(AM = 2\) см
плоскость \(\alpha\) перпендикулярна ребру \(MC\) и проходит через его середину
\(K\) и \(P\) — точки пересечения плоскости \(\alpha\) с прямыми \(AB\) и \(AD\)
Найти: \(KP\).
Решение: Ребро \(MA\) перпендикулярно плоскости основания, поэтому \(MA \perp AB\) и \(MA \perp AD\); кроме того, \(AB \perp AD\), так как \(ABCD\) — прямоугольник. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(A\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(AB\), \(AD\) и \(AM\).
Тогда \(A(0; 0; 0)\), \(C(3; 4; 0)\), \(M(0; 0; 2)\).
Плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину, состоит из всех точек пространства, равноудалённых от концов этого отрезка. Точки \(K\) и \(P\) лежат в плоскости \(\alpha\), поэтому \(KM = KC\) и \(PM = PC\).
Прямая \(AB\) — ось \(x\), прямая \(AD\) — ось \(y\), поэтому \(K(k; 0; 0)\) и \(P(0; p; 0)\). \[\begin{aligned} KM^2 &= (0 - k)^2 + 0^2 + (2 - 0)^2 = k^2 + 4; \\ KC^2 &= (3 - k)^2 + 4^2 + 0^2 = (k - 3)^2 + 16. \end{aligned}\]
Из равенства \(KM^2 = KC^2\) получаем: \[\begin{aligned} k^2 + 4 &= k^2 - 6k + 9 + 16; \\ 6k &= 21; \qquad | : 6 \\ k &= 3{,}5. \end{aligned}\]
Для точки \(P\): \[\begin{aligned} PM^2 &= 0^2 + (0 - p)^2 + (2 - 0)^2 = p^2 + 4; \\ PC^2 &= 3^2 + (4 - p)^2 + 0^2 = (p - 4)^2 + 9. \end{aligned}\]
Из равенства \(PM^2 = PC^2\) получаем: \[\begin{aligned} p^2 + 4 &= p^2 - 8p + 16 + 9; \\ 8p &= 21; \qquad | : 8 \\ p &= \frac{21}{8}. \end{aligned}\]
Значит, \(K(3{,}5; 0; 0)\) — точка на продолжении ребра \(AB\) за точку \(B\), а \(P\left(0; \frac{21}{8}; 0\right)\) — точка ребра \(AD\). \[\begin{aligned} &KP = \sqrt{(0 - 3{,}5)^2 + \left(\frac{21}{8} - 0\right)^2 + 0^2} = {} \\ &= \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{441}{64}} = \sqrt{\frac{1225}{64}} = \frac{35}{8}. \end{aligned}\]
Следовательно, \(KP = \frac{35}{8}\) см.
Ответ: \(\frac{35}{8}\) см.
Дано:
\(MABCD\) — пирамида, \(ABCD\) — прямоугольник
ребро \(MA\) перпендикулярно плоскости \(ABCD\)
\(AB = 3\) см
\(AD = 4\) см
\(AM = 2\) см
плоскость \(\alpha\) перпендикулярна ребру \(MC\) и проходит через его середину
\(K\) и \(P\) — точки пересечения плоскости \(\alpha\) с прямыми \(AB\) и \(AD\)
Найти: \(KP\).
Решение: Ребро \(MA\) перпендикулярно плоскости основания, поэтому \(MA \perp AB\) и \(MA \perp AD\); кроме того, \(AB \perp AD\), так как \(ABCD\) — прямоугольник. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(A\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(AB\), \(AD\) и \(AM\).
Тогда \(A(0; 0; 0)\), \(C(3; 4; 0)\), \(M(0; 0; 2)\).
Плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину, состоит из всех точек пространства, равноудалённых от концов этого отрезка. Точки \(K\) и \(P\) лежат в плоскости \(\alpha\), поэтому \(KM = KC\) и \(PM = PC\).
Прямая \(AB\) — ось \(x\), прямая \(AD\) — ось \(y\), поэтому \(K(k; 0; 0)\) и \(P(0; p; 0)\). По формуле расстояния между двумя точками \[\begin{aligned} KM^2 &= (0 - k)^2 + 0^2 + (2 - 0)^2 = k^2 + 4; \\ KC^2 &= (3 - k)^2 + 4^2 + 0^2 = (k - 3)^2 + 16. \end{aligned}\]
Из равенства \(KM^2 = KC^2\) получаем: \[\begin{aligned} k^2 + 4 &= k^2 - 6k + 9 + 16; \\ 6k &= 21; \qquad | : 6 \\ k &= 3{,}5. \end{aligned}\]
Для точки \(P\): \[\begin{aligned} PM^2 &= 0^2 + (0 - p)^2 + (2 - 0)^2 = p^2 + 4; \\ PC^2 &= 3^2 + (4 - p)^2 + 0^2 = (p - 4)^2 + 9. \end{aligned}\]
Из равенства \(PM^2 = PC^2\) получаем: \[\begin{aligned} p^2 + 4 &= p^2 - 8p + 16 + 9; \\ 8p &= 21; \qquad | : 8 \\ p &= \frac{21}{8}. \end{aligned}\]
Значит, \(K(3{,}5; 0; 0)\) — точка на продолжении ребра \(AB\) за точку \(B\), а \(P\left(0; \frac{21}{8}; 0\right)\) — точка ребра \(AD\). По формуле расстояния между двумя точками \[\begin{aligned} &KP = \sqrt{(0 - 3{,}5)^2 + \left(\frac{21}{8} - 0\right)^2 + 0^2} = {} \\ &= \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{441}{64}} = \sqrt{\frac{1225}{64}} = \frac{35}{8}. \end{aligned}\]
Следовательно, \(KP = \frac{35}{8}\) см.
Ответ: \(\frac{35}{8}\) см.
