Страница 20 номер 2.26, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что компланарны векторы: 1) \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\); 2) \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{D_1B}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\).
1) Грань \(AA_1B_1B\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{AB}\).
На продолжении ребра \(CD\) за точку \(D\) отметим точку \(K\) так, что \(DK = CD\). Векторы \(\overrightarrow{KD}\) и \(\overrightarrow{DC}\) сонаправлены и имеют равные модули, поэтому \(\overrightarrow{KD} = \overrightarrow{DC}\), а \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\), так как \(ABCD\) — параллелограмм. Значит, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{KD}\): отрезки \(AB\) и \(KD\) равны и лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(CD\), а векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{KD}\) сонаправлены, поэтому четырёхугольник \(ABDK\) — параллелограмм. Его стороны \(AK\) и \(BD\) параллельны и равны, а векторы \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{BD}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BD}\).
Векторы \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{AB}\) имеют общее начало \(A\) и лежат в плоскости \(ABC\) (точка \(K\) лежит на прямой \(CD\) этой плоскости). Они равны соответственно векторам \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\). Следовательно, по определению векторы \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\) компланарны.
2) Боковые рёбра \(BB_1\) и \(DD_1\) параллелепипеда параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(BB_1D_1D\) — параллелограмм, и векторы \(\overrightarrow{B_1B}\) и \(\overrightarrow{D_1D}\) равны. Грань \(CC_1D_1D\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{CC_1}\).
На продолжении ребра \(B_1B\) за точку \(B\) отметим точку \(L\) так, что \(BL = B_1B\). Тогда \(\overrightarrow{BL} = \overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{D_1D}\): отрезки \(D_1D\) и \(BL\) равны и лежат на параллельных прямых \(DD_1\) и \(BB_1\), а векторы \(\overrightarrow{D_1D}\) и \(\overrightarrow{BL}\) сонаправлены, поэтому четырёхугольник \(D_1DLB\) — параллелограмм. Его стороны \(DL\) и \(D_1B\) параллельны и равны, а векторы \(\overrightarrow{DL}\) и \(\overrightarrow{D_1B}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{DL} = \overrightarrow{D_1B}\).
Векторы \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{DL}\) и \(\overrightarrow{DD_1}\) имеют общее начало \(D\) и лежат в плоскости \(BB_1D_1D\) (точка \(L\) лежит на прямой \(BB_1\) этой плоскости). Они равны соответственно векторам \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{D_1B}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\). Следовательно, по определению векторы \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{D_1B}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\) компланарны.
Ответ: 1) векторы \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\) компланарны; 2) векторы \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{D_1B}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\) компланарны.
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что компланарны векторы: 1) \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\); 2) \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{D_1B}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\).
1) Грань \(AA_1B_1B\) — параллелограмм, поэтому векторы \(\overrightarrow{A_1B_1}\) и \(\overrightarrow{AB}\) сонаправлены и имеют равные модули, то есть \(\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{AB}\).
На продолжении ребра \(CD\) за точку \(D\) отметим точку \(K\) так, что \(DK = CD\). Векторы \(\overrightarrow{KD}\) и \(\overrightarrow{DC}\) сонаправлены и имеют равные модули, поэтому \(\overrightarrow{KD} = \overrightarrow{DC}\), а \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\), так как \(ABCD\) — параллелограмм. Значит, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{KD}\): отрезки \(AB\) и \(KD\) равны и лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(CD\), а векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{KD}\) сонаправлены, поэтому четырёхугольник \(ABDK\) — параллелограмм. Его стороны \(AK\) и \(BD\) параллельны и равны, а векторы \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{BD}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BD}\).
Векторы \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{AB}\) имеют общее начало \(A\) и лежат в плоскости \(ABC\) (точка \(K\) лежит на прямой \(CD\) этой плоскости). Они равны соответственно векторам \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\). Следовательно, по определению векторы \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\) компланарны.
2) Боковые рёбра \(BB_1\) и \(DD_1\) параллелепипеда параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(BB_1D_1D\) — параллелограмм, и векторы \(\overrightarrow{B_1B}\) и \(\overrightarrow{D_1D}\) равны: они сонаправлены и имеют равные модули. Грань \(CC_1D_1D\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{CC_1}\).
На продолжении ребра \(B_1B\) за точку \(B\) отметим точку \(L\) так, что \(BL = B_1B\). Тогда \(\overrightarrow{BL} = \overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{D_1D}\): отрезки \(D_1D\) и \(BL\) равны и лежат на параллельных прямых \(DD_1\) и \(BB_1\), а векторы \(\overrightarrow{D_1D}\) и \(\overrightarrow{BL}\) сонаправлены, поэтому четырёхугольник \(D_1DLB\) — параллелограмм. Его стороны \(DL\) и \(D_1B\) параллельны и равны, а векторы \(\overrightarrow{DL}\) и \(\overrightarrow{D_1B}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{DL} = \overrightarrow{D_1B}\).
Векторы \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{DL}\) и \(\overrightarrow{DD_1}\) имеют общее начало \(D\) и лежат в плоскости \(BB_1D_1D\) (точка \(L\) лежит на прямой \(BB_1\) этой плоскости). Они равны соответственно векторам \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{D_1B}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\). Следовательно, по определению векторы \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{D_1B}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\) компланарны.
Ответ: 1) векторы \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\) компланарны; 2) векторы \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{D_1B}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\) компланарны.
