Вопросы после параграфа §3 на страницах 25-26, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть в пространстве даны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Отложим от произвольной точки \(A\) пространства вектор \(\overrightarrow{AB}\), равный вектору \(\vec{a}\). Далее от точки \(B\) отложим вектор \(\overrightarrow{BC}\), равный вектору \(\vec{b}\). Вектор \(\overrightarrow{AC}\) называют суммой векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) и записывают: \(\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AC}\). Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника. Сумма \(\vec{a} + \vec{b}\) не зависит от выбора точки \(A\): если отложить вектор \(\vec{a}\) от другой точки \(A_1\), то сумма \(\vec{a} + \vec{b}\) окажется равной вектору \(\overrightarrow{A_1C_1}\), где \(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}\).

Ответ: от произвольной точки \(A\) откладывают вектор \(\overrightarrow{AB}\), равный вектору \(\vec{a}\), а от точки \(B\) — вектор \(\overrightarrow{BC}\), равный вектору \(\vec{b}\); тогда \(\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AC}\).

Для любых трёх точек \(A\), \(B\) и \(C\) выполняется равенство \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\); оно выражает правило треугольника. Вообще, для любых точек \(A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n\) пространства выполняется равенство \(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \ldots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_1A_n}\).

Ответ: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) для любых трёх точек \(A\), \(B\) и \(C\).

Если координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно равны \((a_1; a_2; a_3)\) и \((b_1; b_2; b_3)\), то координаты вектора \(\vec{a} + \vec{b}\) равны \((a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)\).

Ответ: каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов: вектор \(\vec{a} + \vec{b}\) имеет координаты \((a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)\).

Для сложения двух неколлинеарных векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) удобно пользоваться правилом параллелограмма. Отложим от произвольной точки \(A\) вектор \(\overrightarrow{AB}\), равный вектору \(\vec{a}\), и вектор \(\overrightarrow{AD}\), равный вектору \(\vec{b}\). Построим параллелограмм \(ABCD\). Тогда искомая сумма \(\vec{a} + \vec{b}\) равна вектору \(\overrightarrow{AC}\). Действительно, \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}\), поэтому по правилу треугольника \(\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

Ответ: чтобы сложить неколлинеарные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), от произвольной точки \(A\) откладывают векторы \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\) и строят параллелограмм \(ABCD\); тогда \(\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AC}\).

Рассмотрим некомпланарные векторы \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\). Построим параллелепипед так, чтобы отрезки \(OA\), \(OB\) и \(OC\) были его рёбрами; \(OBKA\) — его грань, содержащая рёбра \(OA\) и \(OB\), отрезок \(OD\) — диагональ параллелепипеда. Тогда \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD}\). Действительно, четырёхугольник \(OBKA\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OK}\); четырёхугольник \(OCDK\) — тоже параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD}\). Описанный способ сложения трёх векторов, отложенных от одной точки и некомпланарных, называют правилом параллелепипеда.

Ответ: чтобы сложить три некомпланарных вектора \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\), отложенных от одной точки \(O\), строят параллелепипед с рёбрами \(OA\), \(OB\) и \(OC\); их сумма равна вектору \(\overrightarrow{OD}\), где \(OD\) — диагональ этого параллелепипеда.

Разностью векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называют такой вектор \(\vec{c}\), сумма которого с вектором \(\vec{b}\) равна вектору \(\vec{a}\). Пишут: \(\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}\).

Ответ: разностью векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называют такой вектор \(\vec{c}\), сумма которого с вектором \(\vec{b}\) равна вектору \(\vec{a}\); пишут: \(\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}\).

Для любых трёх точек \(O\), \(A\) и \(B\) выполняется равенство \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\). Действительно, по правилу треугольника \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}\), поэтому по определению разности векторов \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\). Значит, если от точки \(O\) отложены векторы \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\), то \(\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{BA}\).

Ответ: \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\) для любых трёх точек \(O\), \(A\) и \(B\).

Если координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно равны \((a_1; a_2; a_3)\) и \((b_1; b_2; b_3)\), то координаты вектора \(\vec{a} - \vec{b}\) равны \((a_1 - b_1; a_2 - b_2; a_3 - b_3)\).

Ответ: каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов: вектор \(\vec{a} - \vec{b}\) имеет координаты \((a_1 - b_1; a_2 - b_2; a_3 - b_3)\).

Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор. Вектор, противоположный вектору \(\vec{a}\), обозначают \(-\vec{a}\). Для любых двух точек \(A\) и \(B\) выполняется равенство \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\), а если вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((a_1; a_2; a_3)\), то вектор \(-\vec{a}\) имеет координаты \((-a_1; -a_2; -a_3)\).

Ответ: два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены; вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор.

Для любых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выполняется равенство \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\). Оно позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора \(\vec{a}\) вычесть вектор \(\vec{b}\), можно к вектору \(\vec{a}\) прибавить вектор \(-\vec{b}\).

Ответ: чтобы из вектора \(\vec{a}\) вычесть вектор \(\vec{b}\), можно к вектору \(\vec{a}\) прибавить вектор \(-\vec{b}\), противоположный вектору \(\vec{b}\): \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\).