Страница 18 номер 2.1, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Призма \(ABCA_1B_1C_1\) правильная: её основания \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — равные правильные треугольники, а боковые грани — прямоугольники. Все векторы в задаче ненулевые, а два ненулевых вектора равны, если их модули равны и они сонаправлены.

1) Грань \(ACC_1A_1\) — прямоугольник, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\), то есть \(|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{A_1C_1}|\). Начала \(A\) и \(A_1\) векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\) лежат на прямой \(AA_1\), а их концы \(C\) и \(C_1\) — по одну сторону от этой прямой, поэтому векторы сонаправлены. Значит, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}\).

2) Основания призмы — равные правильные треугольники, поэтому \(A_1B_1 = A_1C_1 = AC\), то есть \(|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{A_1B_1}|\). Грань \(ABB_1A_1\) — прямоугольник, поэтому \(A_1B_1 \parallel AB\). Если бы прямые \(AC\) и \(A_1B_1\) были параллельны, то прямые \(AC\) и \(AB\), параллельные третьей прямой \(A_1B_1\), были бы параллельны, а они пересекаются в точке \(A\). Совпадать прямые \(AC\) и \(A_1B_1\) тоже не могут: они лежат в параллельных плоскостях оснований. Значит, векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\) неколлинеарны, поэтому они не сонаправлены и не равны, хотя их модули равны.

3) Грань \(BCC_1B_1\) — прямоугольник, поэтому \(BB_1 \parallel CC_1\) и \(BB_1 = CC_1\). Начала \(B\) и \(C\) векторов \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\) лежат на прямой \(BC\), а их концы \(B_1\) и \(C_1\) — по одну сторону от этой прямой, поэтому \(\overrightarrow{BB_1} \uparrow\uparrow \overrightarrow{CC_1}\). Вектор \(\overrightarrow{C_1C}\) направлен противоположно вектору \(\overrightarrow{CC_1}\), значит, \(\overrightarrow{BB_1} \uparrow\downarrow \overrightarrow{C_1C}\). Модули векторов \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{C_1C}\) равны, но векторы не сонаправлены, поэтому они не равны.

4) Грань \(ABB_1A_1\) — прямоугольник, поэтому \(BB_1 \parallel AA_1\) и \(BB_1 = AA_1\). Начала \(B\) и \(A\) векторов \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) лежат на прямой \(AB\), а их концы \(B_1\) и \(A_1\) — по одну сторону от этой прямой, поэтому векторы сонаправлены. Их модули равны, значит, \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{AA_1}\).

Ответ: 1) векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\) равны; 2) векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\) не равны; 3) векторы \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{C_1C}\) не равны; 4) векторы \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) равны.