Страница 20 номер 2.27, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\). Докажите, что компланарны векторы: 1) \(\overrightarrow{B_1C}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\); 2) \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{C_1B}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).
1) Грань \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}\).
Точка \(B_1\) не лежит в плоскости основания \(ABC\), поэтому точки \(A\), \(B_1\) и \(C\) не лежат на одной прямой. Отметим точку \(K\) так, что четырёхугольник \(AB_1CK\) — параллелограмм. Его стороны \(AK\) и \(B_1C\) параллельны и равны, а векторы \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{B_1C}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{B_1C}\).
Векторы \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\) имеют общее начало \(A\) и лежат в плоскости параллелограмма \(AB_1CK\). Они равны соответственно векторам \(\overrightarrow{B_1C}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\). Следовательно, по определению векторы \(\overrightarrow{B_1C}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\) компланарны.
2) Грань \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{CC_1}\). Грань \(BB_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{B_1B}\).
На продолжении ребра \(B_1B\) за точку \(B\) отметим точку \(L\) так, что \(BL = B_1B\). Тогда \(\overrightarrow{BL} = \overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{C_1C}\): отрезки \(C_1C\) и \(BL\) равны и лежат на параллельных прямых \(CC_1\) и \(BB_1\), а векторы \(\overrightarrow{C_1C}\) и \(\overrightarrow{BL}\) сонаправлены, поэтому четырёхугольник \(C_1CLB\) — параллелограмм. Его стороны \(CL\) и \(C_1B\) параллельны и равны, а векторы \(\overrightarrow{CL}\) и \(\overrightarrow{C_1B}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{CL} = \overrightarrow{C_1B}\).
Векторы \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{CL}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\) имеют общее начало \(C\) и лежат в плоскости грани \(BB_1C_1C\) (точка \(L\) лежит на прямой \(BB_1\) этой плоскости). Они равны соответственно векторам \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{C_1B}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\). Следовательно, по определению векторы \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{C_1B}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) компланарны.
Ответ: 1) векторы \(\overrightarrow{B_1C}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\) компланарны; 2) векторы \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{C_1B}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) компланарны.
Дана треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\). Докажите, что компланарны векторы: 1) \(\overrightarrow{B_1C}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\); 2) \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{C_1B}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).
1) Грань \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому векторы \(\overrightarrow{A_1C_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\) сонаправлены и имеют равные модули, то есть \(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}\).
Точка \(B_1\) не лежит в плоскости основания \(ABC\), поэтому точки \(A\), \(B_1\) и \(C\) не лежат на одной прямой. Отметим точку \(K\) так, что четырёхугольник \(AB_1CK\) — параллелограмм. Его стороны \(AK\) и \(B_1C\) параллельны и равны, а векторы \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{B_1C}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{B_1C}\).
Векторы \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\) имеют общее начало \(A\) и лежат в плоскости параллелограмма \(AB_1CK\). Они равны соответственно векторам \(\overrightarrow{B_1C}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\). Следовательно, по определению векторы \(\overrightarrow{B_1C}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\) компланарны.
2) Грань \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{CC_1}\). Грань \(BB_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому векторы \(\overrightarrow{C_1C}\) и \(\overrightarrow{B_1B}\) сонаправлены и имеют равные модули, то есть \(\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{B_1B}\).
На продолжении ребра \(B_1B\) за точку \(B\) отметим точку \(L\) так, что \(BL = B_1B\). Тогда \(\overrightarrow{BL} = \overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{C_1C}\): отрезки \(C_1C\) и \(BL\) равны и лежат на параллельных прямых \(CC_1\) и \(BB_1\), а векторы \(\overrightarrow{C_1C}\) и \(\overrightarrow{BL}\) сонаправлены, поэтому четырёхугольник \(C_1CLB\) — параллелограмм. Его стороны \(CL\) и \(C_1B\) параллельны и равны, а векторы \(\overrightarrow{CL}\) и \(\overrightarrow{C_1B}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{CL} = \overrightarrow{C_1B}\).
Векторы \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{CL}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\) имеют общее начало \(C\) и лежат в плоскости грани \(BB_1C_1C\) (точка \(L\) лежит на прямой \(BB_1\) этой плоскости). Они равны соответственно векторам \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{C_1B}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\). Следовательно, по определению векторы \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{C_1B}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) компланарны.
Ответ: 1) векторы \(\overrightarrow{B_1C}\), \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\) компланарны; 2) векторы \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{C_1B}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) компланарны.
