Страница 21 номер 2.28, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(A(1; -2; 5)\), \(C(-5; 4; 3)\), \(A_1(7; 1; -2)\) и \(B_1(0; 2; -6)\) являются вершинами параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). С помощью векторов найдите координаты остальных вершин данного параллелепипеда.
Боковые грани \(AA_1B_1B\), \(BB_1C_1C\) и \(CC_1D_1D\) параллелепипеда — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1}\). Основание \(ABCD\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
Координаты \((a_1; a_2; a_3)\) вектора \(\overrightarrow{AA_1}\): \(a_1 = 7 - 1 = 6\), \(a_2 = 1 - (-2) = 3\), \(a_3 = -2 - 5 = -7\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(B\). Тогда вектор \(\overrightarrow{BB_1}\) имеет координаты \((-x; 2 - y; -6 - z)\). Поскольку \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{AA_1}\), то \(-x = 6\), \(2 - y = 3\), \(-6 - z = -7\). Отсюда \(x = -6\), \(y = -1\), \(z = 1\), то есть \(B(-6; -1; 1)\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(C_1\). Тогда вектор \(\overrightarrow{CC_1}\) имеет координаты \((x + 5; y - 4; z - 3)\). Поскольку \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}\), то \(x + 5 = 6\), \(y - 4 = 3\), \(z - 3 = -7\). Отсюда \(x = 1\), \(y = 7\), \(z = -4\), то есть \(C_1(1; 7; -4)\).
Координаты вектора \(\overrightarrow{BC}\): \(-5 - (-6) = 1\), \(4 - (-1) = 5\), \(3 - 1 = 2\). Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(D\). Тогда вектор \(\overrightarrow{AD}\) имеет координаты \((x - 1; y + 2; z - 5)\). Поскольку \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), то \(x - 1 = 1\), \(y + 2 = 5\), \(z - 5 = 2\). Отсюда \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = 7\), то есть \(D(2; 3; 7)\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(D_1\). Тогда вектор \(\overrightarrow{DD_1}\) имеет координаты \((x - 2; y - 3; z - 7)\). Поскольку \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\), то \(x - 2 = 6\), \(y - 3 = 3\), \(z - 7 = -7\). Отсюда \(x = 8\), \(y = 6\), \(z = 0\), то есть \(D_1(8; 6; 0)\).
Ответ: \(B(-6; -1; 1)\), \(D(2; 3; 7)\), \(C_1(1; 7; -4)\), \(D_1(8; 6; 0)\).
Точки \(A(1; -2; 5)\), \(C(-5; 4; 3)\), \(A_1(7; 1; -2)\) и \(B_1(0; 2; -6)\) являются вершинами параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). С помощью векторов найдите координаты остальных вершин данного параллелепипеда.
Боковые грани \(AA_1B_1B\), \(BB_1C_1C\) и \(CC_1D_1D\) параллелепипеда — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1}\). Основание \(ABCD\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
Найдём координаты \((a_1; a_2; a_3)\) вектора \(\overrightarrow{AA_1}\): \(a_1 = 7 - 1 = 6\), \(a_2 = 1 - (-2) = 3\), \(a_3 = -2 - 5 = -7\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(B\). Тогда вектор \(\overrightarrow{BB_1}\) имеет координаты \((-x; 2 - y; -6 - z)\). Поскольку \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{AA_1}\), а у равных векторов соответствующие координаты равны, то \(-x = 6\), \(2 - y = 3\), \(-6 - z = -7\). Отсюда \(x = -6\), \(y = -1\), \(z = 1\), то есть \(B(-6; -1; 1)\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(C_1\). Тогда вектор \(\overrightarrow{CC_1}\) имеет координаты \((x + 5; y - 4; z - 3)\). Поскольку \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}\), то \(x + 5 = 6\), \(y - 4 = 3\), \(z - 3 = -7\). Отсюда \(x = 1\), \(y = 7\), \(z = -4\), то есть \(C_1(1; 7; -4)\).
Координаты вектора \(\overrightarrow{BC}\): \(-5 - (-6) = 1\), \(4 - (-1) = 5\), \(3 - 1 = 2\). Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(D\). Тогда вектор \(\overrightarrow{AD}\) имеет координаты \((x - 1; y + 2; z - 5)\). Поскольку \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), то \(x - 1 = 1\), \(y + 2 = 5\), \(z - 5 = 2\). Отсюда \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = 7\), то есть \(D(2; 3; 7)\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(D_1\). Тогда вектор \(\overrightarrow{DD_1}\) имеет координаты \((x - 2; y - 3; z - 7)\). Поскольку \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\), то \(x - 2 = 6\), \(y - 3 = 3\), \(z - 7 = -7\). Отсюда \(x = 8\), \(y = 6\), \(z = 0\), то есть \(D_1(8; 6; 0)\).
Ответ: \(B(-6; -1; 1)\), \(D(2; 3; 7)\), \(C_1(1; 7; -4)\), \(D_1(8; 6; 0)\).
