Страница 13 номер 1.39, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сторона основания правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равна 2 см, а боковое ребро равно 4 см. Точки \(K\) и \(M\) — середины рёбер \(BB_1\) и \(A_1C_1\) соответственно. Найдите расстояние от точки \(M\) до точки пересечения медиан треугольника \(AKC\).
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма
\(AB = 2\) см
\(AA_1 = 4\) см
\(K\) — середина ребра \(BB_1\)
\(M\) — середина ребра \(A_1C_1\)
\(G\) — точка пересечения медиан треугольника \(AKC\)
Найти: \(MG\).
Решение: Пусть \(O\) — середина ребра \(AC\). Медиана \(BO\) равностороннего треугольника \(ABC\) является его высотой, поэтому \(BO \perp AC\) и \(BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}\) (см). Призма правильная, поэтому её боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(O\): ось \(x\) направим по лучу \(OA\), ось \(y\) — по прямой \(BO\) в направлении от точки \(B\) к точке \(O\), ось \(z\) — перпендикулярно плоскости \(ABC\), в сторону верхнего основания.
Тогда \(A(1; 0; 0)\), \(C(-1; 0; 0)\), \(B(0; -\sqrt{3}; 0)\), \(A_1(1; 0; 4)\), \(B_1(0; -\sqrt{3}; 4)\), \(C_1(-1; 0; 4)\).
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, поэтому \(K\left(\frac{0 + 0}{2}; \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}; \frac{0 + 4}{2}\right)\), то есть \(K(0; -\sqrt{3}; 2)\), и \(M\left(\frac{1 - 1}{2}; \frac{0 + 0}{2}; \frac{4 + 4}{2}\right)\), то есть \(M(0; 0; 4)\).
Координаты точки пересечения медиан треугольника равны средним арифметическим соответствующих координат его вершин, поэтому \(G\left(\frac{1 + 0 - 1}{3}; \frac{0 - \sqrt{3} + 0}{3}; \frac{0 + 2 + 0}{3}\right)\), то есть \(G\left(0; -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2}{3}\right)\).
\[\begin{aligned} &MG = \sqrt{(0 - 0)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{2}{3} - 4\right)^2} = {} \\ &= \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{103}{9}} = \frac{\sqrt{103}}{3}. \end{aligned}\]
Значит, \(MG = \frac{\sqrt{103}}{3}\) см.
Ответ: \(\frac{\sqrt{103}}{3}\) см.
Сторона основания правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равна 2 см, а боковое ребро равно 4 см. Точки \(K\) и \(M\) — середины рёбер \(BB_1\) и \(A_1C_1\) соответственно. Найдите расстояние от точки \(M\) до точки пересечения медиан треугольника \(AKC\).
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма
\(AB = 2\) см
\(AA_1 = 4\) см
\(K\) — середина ребра \(BB_1\)
\(M\) — середина ребра \(A_1C_1\)
\(G\) — точка пересечения медиан треугольника \(AKC\)
Найти: \(MG\).
Решение: Пусть \(O\) — середина ребра \(AC\). Медиана \(BO\) равностороннего треугольника \(ABC\) является его высотой, поэтому \(BO \perp AC\) и \(BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}\) (см). Призма правильная, поэтому её боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(O\): ось \(x\) направим по лучу \(OA\), ось \(y\) — по прямой \(BO\) в направлении от точки \(B\) к точке \(O\), ось \(z\) — перпендикулярно плоскости \(ABC\), в сторону верхнего основания.
Тогда \(A(1; 0; 0)\), \(C(-1; 0; 0)\), \(B(0; -\sqrt{3}; 0)\), \(A_1(1; 0; 4)\), \(B_1(0; -\sqrt{3}; 4)\), \(C_1(-1; 0; 4)\).
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, поэтому \(K\left(\frac{0 + 0}{2}; \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}; \frac{0 + 4}{2}\right)\), то есть \(K(0; -\sqrt{3}; 2)\), и \(M\left(\frac{1 - 1}{2}; \frac{0 + 0}{2}; \frac{4 + 4}{2}\right)\), то есть \(M(0; 0; 4)\).
Координаты точки пересечения медиан треугольника равны средним арифметическим соответствующих координат его вершин, поэтому \(G\left(\frac{1 + 0 - 1}{3}; \frac{0 - \sqrt{3} + 0}{3}; \frac{0 + 2 + 0}{3}\right)\), то есть \(G\left(0; -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2}{3}\right)\).
По формуле расстояния между двумя точками \[\begin{aligned} &MG = \sqrt{(0 - 0)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{2}{3} - 4\right)^2} = {} \\ &= \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{103}{9}} = \frac{\sqrt{103}}{3}. \end{aligned}\]
Значит, \(MG = \frac{\sqrt{103}}{3}\) см.
Ответ: \(\frac{\sqrt{103}}{3}\) см.
