Страница 20 номер 2.18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите точку, являющуюся прообразом при параллельном переносе на вектор \(\vec{m}(-2; 1; -3)\) точки: 1) \(O(0; 0; 0)\); 2) \(C(-2; 1; -7)\).
Пусть точка \(X(x; y; z)\) — прообраз точки \(X_1(x_1; y_1; z_1)\) при параллельном переносе на вектор \(\vec{m}(-2; 1; -3)\), то есть \(X_1\) — образ точки \(X\). Тогда \(\overrightarrow{XX_1} = \vec{m}\). Вектор \(\overrightarrow{XX_1}\) имеет координаты \((x_1 - x; y_1 - y; z_1 - z)\), поэтому \(x_1 - x = -2\), \(y_1 - y = 1\), \(z_1 - z = -3\). Отсюда \(x = x_1 + 2\), \(y = y_1 - 1\), \(z = z_1 + 3\).
1) \(x = 0 + 2 = 2\), \(y = 0 - 1 = -1\), \(z = 0 + 3 = 3\). Прообраз — точка \((2; -1; 3)\).
2) \(x = -2 + 2 = 0\), \(y = 1 - 1 = 0\), \(z = -7 + 3 = -4\). Прообраз — точка \((0; 0; -4)\).
Ответ: 1) \((2; -1; 3)\); 2) \((0; 0; -4)\).
Найдите точку, являющуюся прообразом при параллельном переносе на вектор \(\vec{m}(-2; 1; -3)\) точки: 1) \(O(0; 0; 0)\); 2) \(C(-2; 1; -7)\).
Пусть точка \(X(x; y; z)\) — прообраз точки \(X_1(x_1; y_1; z_1)\) при параллельном переносе на вектор \(\vec{m}(-2; 1; -3)\), то есть \(X_1\) — образ точки \(X\). По определению параллельного переноса \(\overrightarrow{XX_1} = \vec{m}\). Вектор \(\overrightarrow{XX_1}\) имеет координаты \((x_1 - x; y_1 - y; z_1 - z)\), а у равных векторов соответствующие координаты равны: \(x_1 - x = -2\), \(y_1 - y = 1\), \(z_1 - z = -3\). Отсюда \(x = x_1 + 2\), \(y = y_1 - 1\), \(z = z_1 + 3\).
1) Для точки \(O(0; 0; 0)\): \(x = 0 + 2 = 2\), \(y = 0 - 1 = -1\), \(z = 0 + 3 = 3\). Прообраз — точка \((2; -1; 3)\).
2) Для точки \(C(-2; 1; -7)\): \(x = -2 + 2 = 0\), \(y = 1 - 1 = 0\), \(z = -7 + 3 = -4\). Прообраз — точка \((0; 0; -4)\).
Ответ: 1) \((2; -1; 3)\); 2) \((0; 0; -4)\).
