Страница 13 номер 1.46, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — равнобокая трапеция
\(AD \parallel BC\)
\(BC = 13\) см
\(AD = 37\) см
\(AC \perp BD\)

Найти: \(S_{ABCD}\).

Решение: Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей трапеции. Трапеция равнобокая, поэтому \(AB = DC\) и \(\angle BAD = \angle CDA\). Треугольники \(BAD\) и \(CDA\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(AB = DC\), сторона \(AD\) общая, \(\angle BAD = \angle CDA\)), откуда \(\angle BDA = \angle CAD\). Значит, треугольник \(AOD\) равнобедренный, а так как \(\angle AOD = 90^\circ\), то \(\angle OAD = \angle ODA = 45^\circ\).

Прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны, поэтому накрест лежащие углы равны: \(\angle OCB = \angle OAD = 45^\circ\) и \(\angle OBC = \angle ODA = 45^\circ\). Следовательно, треугольник \(BOC\) тоже прямоугольный и равнобедренный.

Проведём через точку \(O\) прямую, перпендикулярную основаниям; она пересекает основание \(BC\) в точке \(K\), а основание \(AD\) — в точке \(H\).

В равнобедренном треугольнике \(AOD\) высота \(OH\) является медианой, а медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому \(OH = \frac{AD}{2} = \frac{37}{2}\) (см). Так же в треугольнике \(BOC\) получаем \(OK = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2}\) (см). Точка \(O\) лежит между основаниями, поэтому высота трапеции \(KH = OK + OH = \frac{13}{2} + \frac{37}{2} = 25\) (см).

Площадь трапеции \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot KH = \frac{37 + 13}{2} \cdot 25 = 625\) (см\(^2\)).

Ответ: \(625\) см\(^2\).