Страница 20 номер 2.23, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Модуль вектора \(\vec{c}(x; y; z)\) равен 9, его координаты \(x\) и \(z\) равны, а координаты \(x\) и \(y\) — противоположные числа. Найдите координаты вектора \(\vec{c}\).
По условию \(z = x\) и \(y = -x\), поэтому \(\vec{c}(x; -x; x)\). Тогда \(|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + (-x)^2 + x^2} = \sqrt{3x^2}\), а по условию \(|\vec{c}| = 9 = \sqrt{81}\). Квадратные корни из неотрицательных чисел равны тогда и только тогда, когда равны сами числа: \[\begin{aligned} 3x^2 &= 81; \qquad | : 3 \\ x^2 &= 27. \end{aligned}\]
Значит, \(x = 3\sqrt{3}\) или \(x = -3\sqrt{3}\). При \(x = 3\sqrt{3}\) получаем \(y = -3\sqrt{3}\), \(z = 3\sqrt{3}\); при \(x = -3\sqrt{3}\) получаем \(y = 3\sqrt{3}\), \(z = -3\sqrt{3}\).
Ответ: \(\vec{c}(3\sqrt{3}; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3})\) или \(\vec{c}(-3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; -3\sqrt{3})\).
Модуль вектора \(\vec{c}(x; y; z)\) равен 9, его координаты \(x\) и \(z\) равны, а координаты \(x\) и \(y\) — противоположные числа. Найдите координаты вектора \(\vec{c}\).
По условию \(z = x\) и \(y = -x\), поэтому \(\vec{c}(x; -x; x)\). По формуле модуля вектора \(|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + (-x)^2 + x^2} = \sqrt{3x^2}\), а по условию \(|\vec{c}| = 9 = \sqrt{81}\). Квадратные корни из неотрицательных чисел равны тогда и только тогда, когда равны сами числа: \[\begin{aligned} 3x^2 &= 81; \qquad | : 3 \\ x^2 &= 27. \end{aligned}\]
Значит, \(x = 3\sqrt{3}\) или \(x = -3\sqrt{3}\). При \(x = 3\sqrt{3}\) получаем \(y = -3\sqrt{3}\), \(z = 3\sqrt{3}\); при \(x = -3\sqrt{3}\) получаем \(y = 3\sqrt{3}\), \(z = -3\sqrt{3}\).
Ответ: \(\vec{c}(3\sqrt{3}; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3})\) или \(\vec{c}(-3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; -3\sqrt{3})\).
