Вопросы после параграфа §2 на странице 18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Вектор с началом в точке \(A\) и концом в точке \(B\) обозначают так: \(\overrightarrow{AB}\) (читают: «вектор \(AB\)»).

Ответ: вектор с началом в точке \(A\) и концом в точке \(B\) обозначают \(\overrightarrow{AB}\).

Вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка, называют нулевым вектором или нуль-вектором и обозначают \(\vec{0}\). Модуль нулевого вектора считают равным нулю: \(|\vec{0}| = 0\).

Ответ: нулевым называют вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка.

Модулем вектора \(\overrightarrow{AB}\) называют длину отрезка \(AB\). Обозначают: \(|\overrightarrow{AB}|\); модуль вектора \(\vec{a}\) обозначают так: \(|\vec{a}|\).

Ответ: модулем вектора \(\overrightarrow{AB}\) называют длину отрезка \(AB\).

Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, пишут: \(\vec{a} \parallel \vec{b}\).

Ответ: два ненулевых вектора называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой; нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Ненулевые коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) сонаправлены, пишут: \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\). Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) противоположно направлены, пишут: \(\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}\).

Ответ: сонаправленные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) обозначают так: \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\); противоположно направленные — так: \(\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}\).

Два ненулевых вектора называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

Ответ: два ненулевых вектора называют равными, если их модули равны и они сонаправлены.

Векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) называют компланарными, если равные им векторы, имеющие общее начало, принадлежат одной плоскости. Например, если из трёх данных векторов найдутся два коллинеарных вектора, то эти три вектора являются компланарными.

Ответ: векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) называют компланарными, если равные им векторы, имеющие общее начало, принадлежат одной плоскости.

Пусть в координатном пространстве дан вектор \(\vec{a}\). От начала координат \(O\) отложим вектор \(\overrightarrow{OA}\), равный вектору \(\vec{a}\). Координатами вектора \(\vec{a}\) в декартовой прямоугольной системе координат называют координаты точки \(A\) в этой системе. Запись \(\vec{a}(x; y; z)\) означает, что вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((x; y; z)\).

Ответ: координатами вектора \(\vec{a}\) называют координаты точки \(A\) такой, что вектор \(\overrightarrow{OA}\), отложенный от начала координат \(O\), равен вектору \(\vec{a}\).

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты: если векторы \(\vec{a}(a_1; a_2; a_3)\) и \(\vec{b}(b_1; b_2; b_3)\) равны, то \(a_1 = b_1\), \(a_2 = b_2\), \(a_3 = b_3\).

Ответ: равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

Если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы: если у векторов \(\vec{a}(a_1; a_2; a_3)\) и \(\vec{b}(b_1; b_2; b_3)\) выполняются равенства \(a_1 = b_1\), \(a_2 = b_2\), \(a_3 = b_3\), то \(\vec{a} = \vec{b}\).

Ответ: если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Если точки \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\) — соответственно начало и конец вектора \(\vec{a}\), то числа \(x_2 - x_1\), \(y_2 - y_1\) и \(z_2 - z_1\) равны соответственно первой, второй и третьей координатам вектора \(\vec{a}\).

Ответ: из каждой координаты конца вектора надо вычесть соответствующую координату его начала: вектор с началом \(A(x_1; y_1; z_1)\) и концом \(B(x_2; y_2; z_2)\) имеет координаты \((x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)\).

Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((a_1; a_2; a_3)\), то \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\).

Ответ: модуль вектора \(\vec{a}(a_1; a_2; a_3)\) равен квадратному корню из суммы квадратов его координат: \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\).

Пусть в пространстве заданы фигура \(F\) и вектор \(\vec{a}\). Каждой точке \(X\) фигуры \(F\) поставим в соответствие точку \(X_1\) такую, что \(\overrightarrow{XX_1} = \vec{a}\); в результате получим фигуру \(F_1\). Такое преобразование фигуры \(F\) называют параллельным переносом на вектор \(\vec{a}\). Параллельный перенос является движением.

Ответ: параллельным переносом фигуры \(F\) на вектор \(\vec{a}\) называют преобразование, при котором каждой точке \(X\) фигуры \(F\) ставится в соответствие точка \(X_1\) такая, что \(\overrightarrow{XX_1} = \vec{a}\).