Страница 21 номер 2.30, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — равнобокая трапеция
\(BC \parallel AD\)
\(BC = 15\) см
\(AD = 39\) см
\(AC \perp CD\)

Найти: \(S_{ABCD}\) — площадь трапеции.

Решение: Проведём высоту \(CH\) трапеции.

Угол \(C\) при меньшем основании трапеции тупой, а в равнобокой трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, равные полусумме и полуразности оснований: \(AH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{39 + 15}{2} = 27\) (см), \(HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{39 - 15}{2} = 12\) (см).

Треугольник \(ACD\) прямоугольный с прямым углом \(C\); \(CH\) — его высота, проведённая к гипотенузе \(AD\), а \(AH\) и \(HD\) — проекции катетов \(AC\) и \(CD\) на гипотенузу. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: \(CH^2 = AH \cdot HD = 27 \cdot 12 = 324\), откуда \(CH = 18\) см.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = 27 \cdot 18 = 486\) (см\(^2\)).

Ответ: 486 см\(^2\).