Страница 13 номер 1.40, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = 8\) см
\(M\) — середина ребра \(B_1C_1\)
\(T\) — центроид тетраэдра \(MABD\)

Найти: \(CT\).

Решение: Рёбра \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\) куба попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(B\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\).

Тогда \(A(8; 0; 0)\), \(B(0; 0; 0)\), \(C(0; 8; 0)\), \(D(8; 8; 0)\), \(B_1(0; 0; 8)\), \(C_1(0; 8; 8)\).

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, поэтому \(M\left(\frac{0 + 0}{2}; \frac{0 + 8}{2}; \frac{8 + 8}{2}\right)\), то есть \(M(0; 4; 8)\).

Координаты центроида тетраэдра равны средним арифметическим соответствующих координат его вершин, поэтому \(T\left(\frac{0 + 8 + 0 + 8}{4}; \frac{4 + 0 + 0 + 8}{4}; \frac{8 + 0 + 0 + 0}{4}\right)\), то есть \(T(4; 3; 2)\).

По формуле расстояния между двумя точками \(CT = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 8)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) (см).

Ответ: \(3\sqrt{5}\) см.