Страница 21 номер 2.31, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
По одну сторону от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 30 см и 48 см. Найдите расстояние между хордами, если радиус окружности равен 25 см.
Дано:
окружность с центром \(O\)
\(R = 25\) см
\(AB\) и \(CD\) — хорды, \(AB \parallel CD\)
\(AB = 48\) см
\(CD = 30\) см
хорды \(AB\) и \(CD\) лежат по одну сторону от центра \(O\)
Найти: расстояние между хордами \(AB\) и \(CD\).
Решение: Проведём через центр \(O\) прямую, перпендикулярную хорде \(AB\); она перпендикулярна и параллельной ей хорде \(CD\). Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому эта прямая пересекает хорды \(AB\) и \(CD\) в их серединах \(M\) и \(N\). Отрезок \(MN\) перпендикулярен обеим хордам, и его длина — расстояние между ними.
\(AM = \frac{AB}{2} = 24\) см, \(CN = \frac{CD}{2} = 15\) см.
Треугольники \(OMA\) и \(ONC\) прямоугольные, их гипотенузы — радиусы: \(OA = OC = 25\) см. По теореме Пифагора \(OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7\) (см), \(ON = \sqrt{OC^2 - CN^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20\) (см).
Хорды лежат по одну сторону от центра, поэтому точки \(M\) и \(N\) лежат на одном луче с началом \(O\), и \(MN = ON - OM = 20 - 7 = 13\) (см).
Ответ: 13 см.
По одну сторону от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 30 см и 48 см. Найдите расстояние между хордами, если радиус окружности равен 25 см.
Дано:
окружность с центром \(O\)
\(R = 25\) см
\(AB\) и \(CD\) — хорды, \(AB \parallel CD\)
\(AB = 48\) см
\(CD = 30\) см
хорды \(AB\) и \(CD\) лежат по одну сторону от центра \(O\)
Найти: расстояние между хордами \(AB\) и \(CD\).
Решение: Проведём через центр \(O\) прямую, перпендикулярную хорде \(AB\); она перпендикулярна и параллельной ей хорде \(CD\). Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому эта прямая пересекает хорды \(AB\) и \(CD\) в их серединах \(M\) и \(N\). Отрезок \(MN\) перпендикулярен обеим хордам, и его длина — расстояние между ними.
Точки \(M\) и \(N\) — середины хорд, поэтому \(AM = \frac{AB}{2} = 24\) см, \(CN = \frac{CD}{2} = 15\) см.
Треугольники \(OMA\) и \(ONC\) прямоугольные, их гипотенузы — радиусы: \(OA = OC = 25\) см. По теореме Пифагора \(OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7\) (см), \(ON = \sqrt{OC^2 - CN^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20\) (см).
Хорды лежат по одну сторону от центра, поэтому точки \(M\) и \(N\) лежат на одном луче с началом \(O\), и \(MN = ON - OM = 20 - 7 = 13\) (см).
Ответ: 13 см.
