Страница 13 номер 1.47, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\)
\(AB\) и \(CD\) — хорды, \(AB \parallel CD\)
\(AB = 16\) см
\(CD = 10\) см
хорды лежат по разные стороны от центра \(O\)
расстояние между хордами равно 9 см

Найти: \(R\).

Решение: Проведём через центр \(O\) прямую, перпендикулярную хорде \(AB\); так как \(AB \parallel CD\), она перпендикулярна и хорде \(CD\). Пусть эта прямая пересекает хорды \(AB\) и \(CD\) в точках \(K\) и \(L\).

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому \(AK = \frac{AB}{2} = 8\) (см) и \(CL = \frac{CD}{2} = 5\) (см). Отрезок \(KL\) перпендикулярен обеим хордам, поэтому \(KL = 9\) см. Хорды лежат по разные стороны от центра, поэтому точка \(O\) лежит на отрезке \(KL\) и \(OK + OL = 9\) см.

Пусть \(OK = x\) см, тогда \(OL = (9 - x)\) см. Из прямоугольных треугольников \(OKA\) и \(OLC\) по теореме Пифагора \(OA^2 = OK^2 + AK^2\) и \(OC^2 = OL^2 + CL^2\), а \(OA = OC = R\), поэтому \[\begin{aligned} x^2 + 64 &= (9 - x)^2 + 25; \\ x^2 + 64 &= 81 - 18x + x^2 + 25; \\ 18x &= 42; \qquad | : 18 \\ x &= \frac{7}{3}. \end{aligned}\]

Тогда \(R^2 = OK^2 + AK^2 = \frac{49}{9} + 64 = \frac{625}{9}\), откуда \(R = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}\) (см).

Ответ: \(8\frac{1}{3}\) см.