Страница 19 номер 2.6, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Начертите куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Отложите: 1) от точки \(A\) вектор, равный вектору \(\overrightarrow{A_1A}\); 2) от точки \(C\) вектор, равный вектору \(\overrightarrow{A_1C_1}\); 3) от точки \(D_1\) вектор, равный вектору \(\overrightarrow{B_1D}\).
1) На продолжении ребра \(A_1A\) за точку \(A\) отложим отрезок \(AK = A_1A\). Векторы \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{A_1A}\) лежат на одной прямой и сонаправлены, так как точка \(A\) лежит между точками \(A_1\) и \(K\); их модули равны. Значит, \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{A_1A}\).
2) Рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) куба параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(AA_1C_1C\) — параллелограмм: \(A_1C_1 \parallel AC\) и \(A_1C_1 = AC\). Начала \(A_1\) и \(A\) векторов \(\overrightarrow{A_1C_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\) лежат на прямой \(AA_1\), а их концы \(C_1\) и \(C\) — по одну сторону от неё, поэтому \(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}\). На продолжении диагонали \(AC\) за точку \(C\) отложим отрезок \(CL = AC\). Векторы \(\overrightarrow{CL}\) и \(\overrightarrow{AC}\) лежат на одной прямой, сонаправлены (точка \(C\) лежит между точками \(A\) и \(L\)) и имеют равные модули. Значит, \(\overrightarrow{CL} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}\).
3) Рёбра \(BB_1\) и \(DD_1\) куба параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(BB_1D_1D\) — параллелограмм: \(B_1D_1 \parallel BD\) и \(B_1D_1 = BD\). На продолжении диагонали \(BD\) за точку \(D\) отложим отрезок \(DN = BD\). Тогда \(DN \parallel B_1D_1\) и \(DN = B_1D_1\), поэтому четырёхугольник \(B_1D_1ND\) — параллелограмм: \(D_1N \parallel B_1D\) и \(D_1N = B_1D\). Начала \(B_1\) и \(D_1\) векторов \(\overrightarrow{B_1D}\) и \(\overrightarrow{D_1N}\) лежат на прямой \(B_1D_1\), а их концы \(D\) и \(N\) — на параллельной ей прямой \(BD\), то есть по одну сторону от прямой \(B_1D_1\). Значит, векторы сонаправлены, и \(\overrightarrow{D_1N} = \overrightarrow{B_1D}\).
Ответ: 1) \(\overrightarrow{AK}\), где \(K\) — точка на продолжении ребра \(A_1A\) за точку \(A\), \(AK = AA_1\); 2) \(\overrightarrow{CL}\), где \(L\) — точка на продолжении диагонали \(AC\) основания за точку \(C\), \(CL = AC\); 3) \(\overrightarrow{D_1N}\), где \(N\) — точка на продолжении диагонали \(BD\) основания за точку \(D\), \(DN = BD\).
Начертите куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Отложите: 1) от точки \(A\) вектор, равный вектору \(\overrightarrow{A_1A}\); 2) от точки \(C\) вектор, равный вектору \(\overrightarrow{A_1C_1}\); 3) от точки \(D_1\) вектор, равный вектору \(\overrightarrow{B_1D}\).
Два ненулевых вектора равны, если их модули равны и они сонаправлены.
1) На продолжении ребра \(A_1A\) за точку \(A\) отложим отрезок \(AK = A_1A\). Векторы \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{A_1A}\) лежат на одной прямой и сонаправлены, так как точка \(A\) лежит между точками \(A_1\) и \(K\); их модули равны. Значит, \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{A_1A}\).
2) Рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) куба параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(AA_1C_1C\) — параллелограмм: \(A_1C_1 \parallel AC\) и \(A_1C_1 = AC\). Начала \(A_1\) и \(A\) векторов \(\overrightarrow{A_1C_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\) лежат на прямой \(AA_1\), а их концы \(C_1\) и \(C\) — по одну сторону от неё, поэтому \(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}\). На продолжении диагонали \(AC\) за точку \(C\) отложим отрезок \(CL = AC\). Векторы \(\overrightarrow{CL}\) и \(\overrightarrow{AC}\) лежат на одной прямой, сонаправлены (точка \(C\) лежит между точками \(A\) и \(L\)) и имеют равные модули. Значит, \(\overrightarrow{CL} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1C_1}\).
3) Рёбра \(BB_1\) и \(DD_1\) куба параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(BB_1D_1D\) — параллелограмм: \(B_1D_1 \parallel BD\) и \(B_1D_1 = BD\). На продолжении диагонали \(BD\) за точку \(D\) отложим отрезок \(DN = BD\). Тогда \(DN \parallel B_1D_1\) и \(DN = B_1D_1\), поэтому четырёхугольник \(B_1D_1ND\) — параллелограмм: \(D_1N \parallel B_1D\) и \(D_1N = B_1D\). Начала \(B_1\) и \(D_1\) векторов \(\overrightarrow{B_1D}\) и \(\overrightarrow{D_1N}\) лежат на прямой \(B_1D_1\), а их концы \(D\) и \(N\) — на параллельной ей прямой \(BD\), то есть по одну сторону от прямой \(B_1D_1\). Значит, векторы сонаправлены, и \(\overrightarrow{D_1N} = \overrightarrow{B_1D}\).
Ответ: 1) \(\overrightarrow{AK}\), где \(K\) — точка на продолжении ребра \(A_1A\) за точку \(A\), \(AK = AA_1\); 2) \(\overrightarrow{CL}\), где \(L\) — точка на продолжении диагонали \(AC\) основания за точку \(C\), \(CL = AC\); 3) \(\overrightarrow{D_1N}\), где \(N\) — точка на продолжении диагонали \(BD\) основания за точку \(D\), \(DN = BD\).
