Страница 21 номер 2.29, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(A(1; 4; -4)\), \(B(4; -3; 1)\), \(C_1(-5; 1; 0)\) и \(B_1(8; -2; 3)\) являются вершинами параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). С помощью векторов найдите координаты остальных вершин данного параллелепипеда.
Боковые грани \(AA_1B_1B\), \(BB_1C_1C\) и \(CC_1D_1D\) параллелепипеда — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1}\). Основание \(ABCD\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
Координаты \((a_1; a_2; a_3)\) вектора \(\overrightarrow{BB_1}\): \(a_1 = 8 - 4 = 4\), \(a_2 = -2 - (-3) = 1\), \(a_3 = 3 - 1 = 2\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(A_1\). Тогда вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) имеет координаты \((x - 1; y - 4; z + 4)\). Поскольку \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}\), то \(x - 1 = 4\), \(y - 4 = 1\), \(z + 4 = 2\). Отсюда \(x = 5\), \(y = 5\), \(z = -2\), то есть \(A_1(5; 5; -2)\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(C\). Тогда вектор \(\overrightarrow{CC_1}\) имеет координаты \((-5 - x; 1 - y; -z)\). Поскольку \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{BB_1}\), то \(-5 - x = 4\), \(1 - y = 1\), \(-z = 2\). Отсюда \(x = -9\), \(y = 0\), \(z = -2\), то есть \(C(-9; 0; -2)\).
Координаты вектора \(\overrightarrow{BC}\): \(-9 - 4 = -13\), \(0 - (-3) = 3\), \(-2 - 1 = -3\). Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(D\). Тогда вектор \(\overrightarrow{AD}\) имеет координаты \((x - 1; y - 4; z + 4)\). Поскольку \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), то \(x - 1 = -13\), \(y - 4 = 3\), \(z + 4 = -3\). Отсюда \(x = -12\), \(y = 7\), \(z = -7\), то есть \(D(-12; 7; -7)\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(D_1\). Тогда вектор \(\overrightarrow{DD_1}\) имеет координаты \((x + 12; y - 7; z + 7)\). Поскольку \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{BB_1}\), то \(x + 12 = 4\), \(y - 7 = 1\), \(z + 7 = 2\). Отсюда \(x = -8\), \(y = 8\), \(z = -5\), то есть \(D_1(-8; 8; -5)\).
Ответ: \(A_1(5; 5; -2)\), \(C(-9; 0; -2)\), \(D(-12; 7; -7)\), \(D_1(-8; 8; -5)\).
Точки \(A(1; 4; -4)\), \(B(4; -3; 1)\), \(C_1(-5; 1; 0)\) и \(B_1(8; -2; 3)\) являются вершинами параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). С помощью векторов найдите координаты остальных вершин данного параллелепипеда.
Боковые грани \(AA_1B_1B\), \(BB_1C_1C\) и \(CC_1D_1D\) параллелепипеда — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1}\). Основание \(ABCD\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
Найдём координаты \((a_1; a_2; a_3)\) вектора \(\overrightarrow{BB_1}\): \(a_1 = 8 - 4 = 4\), \(a_2 = -2 - (-3) = 1\), \(a_3 = 3 - 1 = 2\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(A_1\). Тогда вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) имеет координаты \((x - 1; y - 4; z + 4)\). Поскольку \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}\), а у равных векторов соответствующие координаты равны, то \(x - 1 = 4\), \(y - 4 = 1\), \(z + 4 = 2\). Отсюда \(x = 5\), \(y = 5\), \(z = -2\), то есть \(A_1(5; 5; -2)\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(C\). Тогда вектор \(\overrightarrow{CC_1}\) имеет координаты \((-5 - x; 1 - y; -z)\). Поскольку \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{BB_1}\), то \(-5 - x = 4\), \(1 - y = 1\), \(-z = 2\). Отсюда \(x = -9\), \(y = 0\), \(z = -2\), то есть \(C(-9; 0; -2)\).
Координаты вектора \(\overrightarrow{BC}\): \(-9 - 4 = -13\), \(0 - (-3) = 3\), \(-2 - 1 = -3\). Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(D\). Тогда вектор \(\overrightarrow{AD}\) имеет координаты \((x - 1; y - 4; z + 4)\). Поскольку \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), то \(x - 1 = -13\), \(y - 4 = 3\), \(z + 4 = -3\). Отсюда \(x = -12\), \(y = 7\), \(z = -7\), то есть \(D(-12; 7; -7)\).
Пусть \((x; y; z)\) — координаты точки \(D_1\). Тогда вектор \(\overrightarrow{DD_1}\) имеет координаты \((x + 12; y - 7; z + 7)\). Поскольку \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{BB_1}\), то \(x + 12 = 4\), \(y - 7 = 1\), \(z + 7 = 2\). Отсюда \(x = -8\), \(y = 8\), \(z = -5\), то есть \(D_1(-8; 8; -5)\).
Ответ: \(A_1(5; 5; -2)\), \(C(-9; 0; -2)\), \(D(-12; 7; -7)\), \(D_1(-8; 8; -5)\).
