Страница 13 номер 1.43, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = 1\)
точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\)
точка \(N\) лежит на ребре \(B_1C_1\)
точка \(K\) лежит на ребре \(CD\)

Найти: наименьшее значение суммы \(MN^2 + NK^2 + KM^2\).

Решение: Рёбра \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\) куба попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(B\), направив оси \(x\), \(y\) и \(z\) по лучам \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\).

Тогда \(A(1; 0; 0)\), \(A_1(1; 0; 1)\), \(B_1(0; 0; 1)\), \(C_1(0; 1; 1)\), \(C(0; 1; 0)\), \(D(1; 1; 0)\). Ребро \(AA_1\) параллельно оси \(z\), ребро \(B_1C_1\) — оси \(y\), ребро \(CD\) — оси \(x\), поэтому \(M(1; 0; m)\), \(N(0; n; 1)\), \(K(k; 1; 0)\), где каждое из чисел \(m\), \(n\), \(k\) принимает значения от 0 до 1. По формуле расстояния между двумя точками \[\begin{aligned} MN^2 &= (0 - 1)^2 + (n - 0)^2 + (1 - m)^2 = 1 + n^2 + (1 - m)^2; \\ NK^2 &= (k - 0)^2 + (1 - n)^2 + (0 - 1)^2 = k^2 + (1 - n)^2 + 1; \\ KM^2 &= (1 - k)^2 + (0 - 1)^2 + (m - 0)^2 = (1 - k)^2 + 1 + m^2. \end{aligned}\]

Сложив эти равенства, получим: \[\begin{aligned} &MN^2 + NK^2 + KM^2 = {} \\ &= 3 + \left(m^2 + (1 - m)^2\right) + \left(n^2 + (1 - n)^2\right) + \left(k^2 + (1 - k)^2\right). \end{aligned}\]

Для любого числа \(t\) \[t^2 + (1 - t)^2 = 2t^2 - 2t + 1 = 2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}.\]

Равенство здесь достигается только при \(t = \frac{1}{2}\). Поэтому каждая из трёх скобок не меньше \(\frac{1}{2}\), а сумма \(MN^2 + NK^2 + KM^2 \geqslant 3 + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\).

При \(m = n = k = \frac{1}{2}\), то есть когда \(M\), \(N\) и \(K\) — середины рёбер \(AA_1\), \(B_1C_1\) и \(CD\), каждое из слагаемых \(MN^2\), \(NK^2\), \(KM^2\) равно \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\), а их сумма равна \(\frac{9}{2}\). Значит, наименьшее значение суммы равно \(\frac{9}{2}\).

Ответ: наименьшее значение суммы \(MN^2 + NK^2 + KM^2\) равно \(\frac{9}{2}\).