Страница 19 номер 2.12, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны точки \(A(5; -12; 7)\), \(B(0; y; 3)\), \(C(x; 17; -14)\) и \(D(15; 0; z)\). При каких значениях \(x\), \(y\) и \(z\) верно равенство \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)?
\(\overrightarrow{AB}(0 - 5; y + 12; 3 - 7)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-5; y + 12; -4)\); \(\overrightarrow{CD}(15 - x; 0 - 17; z + 14)\), то есть \(\overrightarrow{CD}(15 - x; -17; z + 14)\).
Равенство \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) верно тогда и только тогда, когда \(15 - x = -5\), \(y + 12 = -17\), \(z + 14 = -4\), то есть при \(x = 20\), \(y = -29\), \(z = -18\).
Ответ: при \(x = 20\), \(y = -29\), \(z = -18\).
Даны точки \(A(5; -12; 7)\), \(B(0; y; 3)\), \(C(x; 17; -14)\) и \(D(15; 0; z)\). При каких значениях \(x\), \(y\) и \(z\) верно равенство \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)?
Найдём координаты векторов по координатам их начал и концов. Для точек \(A(5; -12; 7)\) и \(B(0; y; 3)\) получаем \(\overrightarrow{AB}(0 - 5; y + 12; 3 - 7)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-5; y + 12; -4)\). Для точек \(C(x; 17; -14)\) и \(D(15; 0; z)\) получаем \(\overrightarrow{CD}(15 - x; 0 - 17; z + 14)\), то есть \(\overrightarrow{CD}(15 - x; -17; z + 14)\).
Равные векторы имеют равные соответствующие координаты, и наоборот, если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы. Поэтому равенство \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) верно тогда и только тогда, когда \(15 - x = -5\), \(y + 12 = -17\), \(z + 14 = -4\), то есть при \(x = 20\), \(y = -29\), \(z = -18\).
Ответ: при \(x = 20\), \(y = -29\), \(z = -18\).
