Страница 20 номер 2.25, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки \(M(-4; 7; -2)\) является точка \(M_1(-8; 1; -7)\), а образом точки \(N(-1; 4; -2)\) — точка \(N_1(-5; -2; -7)\)?
Если перенос на вектор \(\vec{a}\) переводит точку \(M\) в точку \(M_1\), а точку \(N\) — в точку \(N_1\), то \(\overrightarrow{MM_1} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{NN_1} = \vec{a}\). Наоборот, если \(\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}\), то перенос на вектор \(\overrightarrow{MM_1}\) переводит точку \(M\) в точку \(M_1\), а точку \(N\) — в точку \(N_1\). Поэтому искомый перенос существует тогда и только тогда, когда \(\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}\).
Координаты вектора \(\overrightarrow{MM_1}\): \(-8 - (-4) = -4\), \(1 - 7 = -6\), \(-7 - (-2) = -5\). Координаты вектора \(\overrightarrow{NN_1}\): \(-5 - (-1) = -4\), \(-2 - 4 = -6\), \(-7 - (-2) = -5\).
Соответствующие координаты векторов \(\overrightarrow{MM_1}\) и \(\overrightarrow{NN_1}\) равны, поэтому \(\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}\). Значит, параллельный перенос на вектор \(\vec{a}(-4; -6; -5)\) переводит точку \(M\) в точку \(M_1\), а точку \(N\) — в точку \(N_1\).
Ответ: да, такой перенос существует — это параллельный перенос на вектор \(\vec{a}(-4; -6; -5)\).
Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки \(M(-4; 7; -2)\) является точка \(M_1(-8; 1; -7)\), а образом точки \(N(-1; 4; -2)\) — точка \(N_1(-5; -2; -7)\)?
Параллельный перенос на вектор \(\vec{a}\) переводит каждую точку \(X\) в такую точку \(X_1\), что \(\overrightarrow{XX_1} = \vec{a}\). Если перенос на вектор \(\vec{a}\) переводит точку \(M\) в точку \(M_1\), а точку \(N\) — в точку \(N_1\), то \(\overrightarrow{MM_1} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{NN_1} = \vec{a}\). Наоборот, если \(\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}\), то перенос на вектор \(\overrightarrow{MM_1}\) переводит точку \(M\) в точку \(M_1\), а точку \(N\) — в точку \(N_1\). Поэтому искомый перенос существует тогда и только тогда, когда \(\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}\).
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала. Координаты вектора \(\overrightarrow{MM_1}\): \(-8 - (-4) = -4\), \(1 - 7 = -6\), \(-7 - (-2) = -5\). Координаты вектора \(\overrightarrow{NN_1}\): \(-5 - (-1) = -4\), \(-2 - 4 = -6\), \(-7 - (-2) = -5\).
Соответствующие координаты векторов \(\overrightarrow{MM_1}\) и \(\overrightarrow{NN_1}\) равны, поэтому \(\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}\). Значит, параллельный перенос на вектор \(\vec{a}(-4; -6; -5)\) переводит точку \(M\) в точку \(M_1\), а точку \(N\) — в точку \(N_1\).
Ответ: да, такой перенос существует — это параллельный перенос на вектор \(\vec{a}(-4; -6; -5)\).
