Страница 13 номер 1.42, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан прямоугольник \(ABCD\). Докажите, что для любой точки \(X\) пространства выполняется равенство \(XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2\).
Пусть \(AB = a\), \(AD = b\). Стороны \(AB\) и \(AD\) прямоугольника перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(A\), направив оси \(x\) и \(y\) по лучам \(AB\) и \(AD\), а ось \(z\) — перпендикулярно плоскости \(ABCD\).
Тогда \(A(0; 0; 0)\), \(B(a; 0; 0)\), \(C(a; b; 0)\), \(D(0; b; 0)\). Пусть \(X(x; y; z)\) — произвольная точка пространства. \[\begin{aligned} XA^2 &= x^2 + y^2 + z^2; \\ XC^2 &= (x - a)^2 + (y - b)^2 + z^2; \\ XB^2 &= (x - a)^2 + y^2 + z^2; \\ XD^2 &= x^2 + (y - b)^2 + z^2. \end{aligned}\]
Складывая, получаем: \[\begin{aligned} XA^2 + XC^2 &= x^2 + (x - a)^2 + y^2 + (y - b)^2 + 2z^2; \\ XB^2 + XD^2 &= x^2 + (x - a)^2 + y^2 + (y - b)^2 + 2z^2. \end{aligned}\]
Правые части этих равенств совпадают, поэтому \(XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2\) для любой точки \(X\) пространства.
Ответ: равенство \(XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2\) выполняется для любой точки \(X\) пространства.
Дан прямоугольник \(ABCD\). Докажите, что для любой точки \(X\) пространства выполняется равенство \(XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2\).
Пусть \(AB = a\), \(AD = b\). Стороны \(AB\) и \(AD\) прямоугольника перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке \(A\), направив оси \(x\) и \(y\) по лучам \(AB\) и \(AD\), а ось \(z\) — перпендикулярно плоскости \(ABCD\).
Тогда \(A(0; 0; 0)\), \(B(a; 0; 0)\), \(C(a; b; 0)\), \(D(0; b; 0)\). Пусть \(X(x; y; z)\) — произвольная точка пространства. По формуле расстояния между двумя точками \[\begin{aligned} XA^2 &= x^2 + y^2 + z^2; \\ XC^2 &= (x - a)^2 + (y - b)^2 + z^2; \\ XB^2 &= (x - a)^2 + y^2 + z^2; \\ XD^2 &= x^2 + (y - b)^2 + z^2. \end{aligned}\]
Складывая, получаем: \[\begin{aligned} XA^2 + XC^2 &= x^2 + (x - a)^2 + y^2 + (y - b)^2 + 2z^2; \\ XB^2 + XD^2 &= x^2 + (x - a)^2 + y^2 + (y - b)^2 + 2z^2. \end{aligned}\]
Правые части этих равенств совпадают, поэтому \(XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2\) для любой точки \(X\) пространства.
Ответ: равенство \(XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2\) выполняется для любой точки \(X\) пространства.
