Вопросы к пункту 4 «Нормальное распределение» на странице 84, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Вопросы к пункту 4 «Нормальное распределение».

Нормальное распределение \(N(a;\ \sigma^2)\) с параметрами \(a\) и \(\sigma^2\) (\(\sigma > 0\)) имеет плотность

\[p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x - a)^2}{2\sigma^2}}.\]

Её график — колоколообразная кривая, симметричная относительно прямой \(x = a\); наибольшее значение \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\) плотность принимает при \(x = a\), а при удалении от \(a\) быстро убывает к нулю. Чем меньше \(\sigma\), тем выше и уже колокол. Множитель \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\) обеспечивает условие нормировки: площадь под графиком плотности равна 1. Например, при \(a = 3\) и \(\sigma = 2\) плотность \(p(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 3)^2}{8}}\), её наибольшее значение \(p(3) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}199\).

Ответ: \(p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x - a)^2}{2\sigma^2}}\), где \(a\) и \(\sigma^2\) (\(\sigma > 0\)) — параметры распределения.

Стандартным нормальным распределением называют нормальное распределение \(N(0;\ 1)\) — с параметрами \(a = 0\) и \(\sigma^2 = 1\). Его плотность обозначают \(\varphi(x)\):

\[\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}.\]

Её график — колокол, симметричный относительно оси ординат, с наибольшим значением \(\varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}399\); функцию распределения стандартного нормального закона обозначают \(\Phi(x)\). Плотность любого нормального распределения \(N(a;\ \sigma^2)\) получается из \(\varphi(x)\) сжатием или растяжением вдоль осей и сдвигом: \(p(x) = \frac{1}{\sigma}\varphi\left(\frac{x - a}{\sigma}\right)\), а функция распределения — \(F(x) = \Phi\left(\frac{x - a}{\sigma}\right)\). Поэтому таблицы значений составляют только для стандартного нормального закона, а вероятности для любого нормального закона находят по ним. Например, для \(N(5;\ 4)\) значение \(F(7) = \Phi\left(\frac{7 - 5}{2}\right) = \Phi(1)\) — то же, что у функции распределения стандартного закона в точке 1.

Ответ: нормальное распределение \(N(0;\ 1)\) с параметрами \(a = 0\), \(\sigma^2 = 1\); его плотность \(\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\).

Нормальному или очень близкому к нормальному закону подчиняются случайные величины, которые складываются из большого числа независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся (центральная предельная теорема).

Например: случайные ошибки измерений; размеры деталей при массовом производстве; масса и объём продуктов, расфасованных автоматом (масса пачки сахара, объём сока в пакете); дальность полёта снарядов при артиллерийской стрельбе; масса и рост новорождённых детей; масса плодов, собранных при уборке урожая; рост взрослых мужчин одного возраста. Значения таких величин лежат в ограниченном промежутке, а нормальная плотность положительна на всей прямой, но вероятность больших отклонений от центра распределения так мала, что её можно считать нулевой.

Ответ: например, случайные ошибки измерений, размеры деталей при массовом производстве, масса продуктов, расфасованных автоматом, дальность полёта снарядов, масса и рост новорождённых детей, масса плодов при уборке урожая.

Пусть \(X\) имеет распределение \(N(a;\ \sigma^2)\). График её плотности симметричен относительно прямой \(x = a\), поэтому \(E(X) = a\). Дисперсия равна второму параметру: \(D(X) = \sigma^2\) (доказательство требует техники интегрирования, которую изучают в вузе); значит, стандартное отклонение равно \(\sigma\). Таким образом, параметры нормального распределения — это его математическое ожидание и дисперсия. Например, для \(N(2;\ 0{,}64)\) получаем \(E(X) = 2\), \(D(X) = 0{,}64\), \(\sigma = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\).

Ответ: \(E(X) = a\), \(D(X) = \sigma^2\).

Функцией Лапласа называют функцию \(\Phi_0(x) = \Phi(x) - 0{,}5\), где \(\Phi(x)\) — функция распределения стандартного нормального закона \(N(0;\ 1)\); выразим функцию распределения нормального закона через обе функции.

Пусть \(X\) имеет распределение \(N(a;\ \sigma^2)\), а \(F(x)\) — её функция распределения. Тогда

\[F(x) = \Phi\left(\frac{x - a}{\sigma}\right) = \Phi_0\left(\frac{x - a}{\sigma}\right) + 0{,}5.\]

Действительно, функция \(\Phi\left(\frac{x - a}{\sigma}\right)\) — первообразная плотности \(p(x) = \frac{1}{\sigma}\varphi\left(\frac{x - a}{\sigma}\right)\): так как \(\Phi'(x) = \varphi(x)\), по правилу дифференцирования сложной функции её производная равна \(\frac{1}{\sigma}\varphi\left(\frac{x - a}{\sigma}\right)\). Кроме того, при \(x \to -\infty\) она стремится к 0, как и функция распределения. Функция Лапласа нечётна, \(\Phi_0(-x) = -\Phi_0(x)\), поэтому её значения достаточно знать при \(x \geqslant 0\). Например, если \(X\) имеет распределение \(N(10;\ 4)\) (\(a = 10\), \(\sigma = 2\)), то

\[\begin{aligned} &P(X < 12) = F(12) = \Phi_0\left(\frac{12 - 10}{2}\right) + 0{,}5 = {} \\ &= \Phi_0(1) + 0{,}5 \approx 0{,}3413 + 0{,}5 = 0{,}8413. \end{aligned}\]

Ответ: \(F(x) = \Phi\left(\frac{x - a}{\sigma}\right) = \Phi_0\left(\frac{x - a}{\sigma}\right) + 0{,}5\), где \(\Phi(x)\) — функция распределения \(N(0;\ 1)\), \(\Phi_0(x) = \Phi(x) - 0{,}5\) — функция Лапласа.

Пусть \(X\) имеет нормальное распределение с параметрами \(a\) и \(\sigma^2\). Найдём вероятность того, что её значение отклонится от \(a\) меньше чем на \(3\sigma\); функция Лапласа нечётна, поэтому \(\Phi_0(-3) = -\Phi_0(3)\):

\[\begin{aligned} &P(a - 3\sigma < X < a + 3\sigma) = F(a + 3\sigma) - F(a - 3\sigma) = {} \\ &= \Phi_0\left(\frac{a + 3\sigma - a}{\sigma}\right) - \Phi_0\left(\frac{a - 3\sigma - a}{\sigma}\right) = \Phi_0(3) - \Phi_0(-3) = {} \\ &= 2\Phi_0(3) \approx 2 \cdot 0{,}4987 = 0{,}9974. \end{aligned}\]

Правило трёх сигм для нормальной величины: её значения попадают в интервал \((a - 3\sigma;\ a + 3\sigma)\) с вероятностью \(2\Phi_0(3) \approx 0{,}9974\), т. е. практически наверняка; выйти за его пределы они могут лишь с вероятностью около \(0{,}0026\). Для произвольной величины с математическим ожиданием \(a\) и дисперсией \(\sigma^2 > 0\) неравенство Чебышёва гарантирует попадание в этот интервал лишь с вероятностью не меньше \(\frac{8}{9}\), а для нормальной вероятность гораздо больше. Например, если масса пачки сахара — нормальная величина с математическим ожиданием 1000 г и стандартным отклонением 5 г, то с вероятностью \(\approx 0{,}9974\) масса пачки лежит между 985 и 1015 г.

Ответ: \(P(|X - a| < 3\sigma) = 2\Phi_0(3) \approx 0{,}9974\): значения нормально распределённой величины практически наверняка лежат в интервале \((a - 3\sigma;\ a + 3\sigma)\).