Страница 89 номер 53, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — время обслуживания очередного автомобиля, мин; по условию \(X\) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием \(a = 60\) и стандартным отклонением \(\sigma = 10\), т. е. \(N(60;\ 100)\), функция распределения \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - 60}{10}\right) + 0{,}5\). Величина непрерывна, поэтому строгий знак в неравенствах можно заменять нестрогим.
а) Событие \(X > 65\) противоположно событию \(X \leqslant 65\), вероятность которого равна \(F(65)\):
\[\begin{aligned} &P(X > 65) = 1 - F(65) = 1 - \Phi_0\left(\frac{65 - 60}{10}\right) - 0{,}5 = {} \\ &= 0{,}5 - \Phi_0(0{,}5) \approx 0{,}5 - 0{,}1915 = 0{,}3085. \end{aligned}\]
б) Функция Лапласа нечётна, \(\Phi_0(-1) = -\Phi_0(1)\):
\[\begin{aligned} &P(50 < X < 70) = F(70) - F(50) = {} \\ &= \Phi_0\left(\frac{70 - 60}{10}\right) - \Phi_0\left(\frac{50 - 60}{10}\right) = \Phi_0(1) - \Phi_0(-1) = {} \\ &= 2\Phi_0(1) \approx 2 \cdot 0{,}3413 = 0{,}6826. \end{aligned}\]
в) Плотность симметрична относительно \(x = 60\) и убывает при удалении от 60, поэтому из промежутков одной длины наибольшую вероятность имеет промежуток с серединой 60. Значит, наименьший промежуток, в который время обслуживания попадает с вероятностью \(0{,}5\), — \((60 - 10t;\ 60 + 10t)\), \(t > 0\); вероятность попасть в него \(F(60 + 10t) - F(60 - 10t) = \Phi_0(t) - \Phi_0(-t) = 2\Phi_0(t)\) должна равняться \(0{,}5\):
\[\begin{aligned} 2\Phi_0(t) &= 0{,}5; \\ \Phi_0(t) &= 0{,}25. \end{aligned}\]
По таблице \(\Phi_0(0{,}67) = 0{,}2486\), \(\Phi_0(0{,}68) = 0{,}2518\); ближе к \(0{,}25\) первое значение, поэтому \(t \approx 0{,}67\) и \(10t \approx 6{,}7\). Промежуток — от \(60 - 6{,}7 = 53{,}3\) до \(60 + 6{,}7 = 66{,}7\) мин.
Ответ: а) вероятность того, что автомобиль будут обслуживать больше 65 мин, \(\approx 0{,}3085\); б) вероятность того, что время обслуживания будет заключено между 50 и 70 мин, \(\approx 0{,}6826\); в) наименьший интервал, в который укладывается время обслуживания половины автомобилей, — от \(53{,}3\) до \(66{,}7\) мин.
Пусть \(X\) — время обслуживания очередного автомобиля, мин. По условию \(X\) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием \(a = 60\) и стандартным отклонением \(\sigma = 10\), т. е. \(N(60;\ 100)\); её функция распределения \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - 60}{10}\right) + 0{,}5\). Величина непрерывна, поэтому вероятность каждого отдельного её значения равна 0 и строгий знак в неравенствах можно заменять нестрогим.
а) Событие \(X > 65\) противоположно событию \(X \leqslant 65\), вероятность которого равна \(F(65)\):
\[\begin{aligned} &P(X > 65) = 1 - F(65) = 1 - \Phi_0\left(\frac{65 - 60}{10}\right) - 0{,}5 = {} \\ &= 0{,}5 - \Phi_0(0{,}5) \approx 0{,}5 - 0{,}1915 = 0{,}3085. \end{aligned}\]
б) Функция Лапласа нечётна, поэтому \(\Phi_0(-1) = -\Phi_0(1)\):
\[\begin{aligned} &P(50 < X < 70) = F(70) - F(50) = {} \\ &= \Phi_0\left(\frac{70 - 60}{10}\right) - \Phi_0\left(\frac{50 - 60}{10}\right) = \Phi_0(1) - \Phi_0(-1) = {} \\ &= 2\Phi_0(1) \approx 2 \cdot 0{,}3413 = 0{,}6826. \end{aligned}\]
в) Плотность нормального распределения симметрична относительно \(x = 60\) и убывает при удалении от 60. Поэтому из всех промежутков одной длины наибольшую вероятность имеет промежуток с серединой 60: при сдвиге он теряет часть возле 60, где плотность больше, и приобретает такую же по длине часть дальше от 60, где плотность меньше. Значит, наименьший промежуток, в который время обслуживания попадает с вероятностью \(0{,}5\), симметричен относительно 60: это \((60 - 10t;\ 60 + 10t)\), где \(t > 0\). Вероятность попасть в него \(F(60 + 10t) - F(60 - 10t) = \Phi_0(t) - \Phi_0(-t) = 2\Phi_0(t)\) должна равняться \(0{,}5\):
\[\begin{aligned} 2\Phi_0(t) &= 0{,}5; \\ \Phi_0(t) &= 0{,}25. \end{aligned}\]
В таблице значений функции Лапласа \(\Phi_0(0{,}67) = 0{,}2486\) и \(\Phi_0(0{,}68) = 0{,}2518\); ближе к \(0{,}25\) первое значение, поэтому \(t \approx 0{,}67\) и \(10t \approx 6{,}7\). Получаем промежуток от \(60 - 6{,}7 = 53{,}3\) до \(60 + 6{,}7 = 66{,}7\) мин.
Ответ: а) вероятность того, что автомобиль будут обслуживать больше 65 мин, \(\approx 0{,}3085\); б) вероятность того, что время обслуживания будет заключено между 50 и 70 мин, \(\approx 0{,}6826\); в) наименьший интервал, в который укладывается время обслуживания половины автомобилей, — от \(53{,}3\) до \(66{,}7\) мин.
