Страница 50 номер 24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Случайное событие \(A\) произошло 240 раз в 600 независимых испытаниях. На уровне значимости 0,1 проверьте гипотезу о том, что \(P(A) = \frac{1}{3}\).
\(p = P(A)\) — вероятность события \(A\) в одном испытании, \(Y\) — частота события \(A\) в \(N = 600\) независимых испытаниях: \(Y = \frac{240}{600} = 0{,}4\); уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
\(H_0\): \(p = \frac{1}{3}\); \(H_1\): \(p \ne \frac{1}{3}\) (двусторонняя альтернатива); критическая область — \(|Y - \frac{1}{3}| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = \frac{1}{3}\) — вероятность из гипотезы \(H_0\); из равенства \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\).
\(p(1 - p) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\) — числитель дроби под корнем.
\[\delta = \sqrt{\frac{2}{9 \cdot 600 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{\frac{1}{270}} \approx 0{,}0609.\]
Критическая область: \(Y \leqslant \frac{1}{3} - \delta \approx 0{,}2725\) или \(Y \geqslant \frac{1}{3} + \delta \approx 0{,}3942\).
Частота \(0{,}4\) больше \(0{,}3942\), т. е. попадает в критическую область: отклонение \(0{,}4 - \frac{1}{3} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067\) больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}1\) можно считать, что \(P(A) \ne \frac{1}{3}\).
Ответ: гипотезу о том, что \(P(A) = \frac{1}{3}\), на уровне значимости \(0{,}1\) отвергаем: частота \(0{,}4\) больше границы критической области \(\frac{1}{3} + \delta \approx 0{,}3942\).
Случайное событие \(A\) произошло 240 раз в 600 независимых испытаниях. На уровне значимости 0,1 проверьте гипотезу о том, что \(P(A) = \frac{1}{3}\).
Пусть \(p = P(A)\) — вероятность события \(A\) в одном испытании, \(Y\) — частота события \(A\) в \(N = 600\) независимых испытаниях. Событие произошло 240 раз, поэтому \(Y = \frac{240}{600} = 0{,}4\). Уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
Проверяем гипотезу \(H_0\): \(p = \frac{1}{3}\) против двусторонней альтернативы \(H_1\): \(p \ne \frac{1}{3}\); критическая область — \(|Y - \frac{1}{3}| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = \frac{1}{3}\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\); здесь числитель равен \(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\):
\[\delta = \sqrt{\frac{2}{9 \cdot 600 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{\frac{1}{270}} \approx 0{,}0609.\]
Критическая область: \(Y \leqslant \frac{1}{3} - \delta \approx 0{,}2725\) или \(Y \geqslant \frac{1}{3} + \delta \approx 0{,}3942\). Частота \(0{,}4\) больше \(0{,}3942\), т. е. попадает в критическую область: её отклонение от \(\frac{1}{3}\) равно \(0{,}4 - \frac{1}{3} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067\), а это больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}1\) можно считать, что \(P(A) \ne \frac{1}{3}\).
Ответ: гипотезу о том, что \(P(A) = \frac{1}{3}\), на уровне значимости \(0{,}1\) отвергаем: частота \(0{,}4\) больше границы критической области \(\frac{1}{3} + \delta \approx 0{,}3942\).
