Страница 88 номер 43, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

Расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно 100 км, поломка автобуса с равной вероятностью может произойти в любой точке трассы. Сравним два расположения трёх станций обслуживания: в пунктах \(A\), \(B\) и посередине между ними (в 0, 50 и 100 км от пункта \(A\)) и в 25, 50 и 75 км от пункта \(A\). Эффективность обслуживания оценим средним расстоянием от места поломки до ближайшей станции, т. е. математическим ожиданием расстояния \(X\) (в километрах). Место поломки — случайная точка отрезка длиной 100 км, поэтому по геометрическому определению вероятности поломка происходит на каком-либо участке трассы с вероятностью, равной длине участка, делённой на 100.

Первое расположение: станции в 0, 50 и 100 км от пункта \(A\). Любая точка трассы удалена от ближайшей станции не больше чем на 25 км. При \(0 < x \leqslant 25\) событие \(X < x\) означает, что поломка произошла на одном из участков \([0; x)\), \((50 - x; 50 + x)\), \((100 - x; 100]\) общей длиной \(x + 2x + x = 4x\). Значит, функция распределения \(F(x) = \frac{4x}{100} = \frac{x}{25}\) при \(0 < x \leqslant 25\), \(F(x) = 0\) при \(x \leqslant 0\) и \(F(x) = 1\) при \(x > 25\). Это функция распределения равномерного распределения на отрезке \([0; 25]\), поэтому среднее расстояние \(E(X) = \frac{0 + 25}{2} = 12{,}5\) (км).

Второе расположение: станции в 25, 50 и 75 км от пункта \(A\); станций в пунктах \(A\) и \(B\) теперь нет. На участках трассы от 0 до 25 км и от 75 до 100 км ближайшая станция — крайняя, и расстояние до неё доходит до 25 км, а на участке от 25 до 75 км ближайшая станция не дальше \(12{,}5\) км. При \(0 < x \leqslant 12{,}5\) событие \(X < x\) означает поломку на одном из участков \((25 - x; 25 + x)\), \((50 - x; 50 + x)\), \((75 - x; 75 + x)\), каждый длиной \(2x\), поэтому \(F(x) = \frac{6x}{100} = 0{,}06x\). При \(12{,}5 < x \leqslant 25\) событие \(X < x\) означает поломку на участке \((25 - x; 75 + x)\) длиной \(50 + 2x\), поэтому \(F(x) = \frac{50 + 2x}{100} = 0{,}5 + 0{,}02x\). В точке \(x = 12{,}5\) обе формулы дают одно значение: \(0{,}06 \cdot 12{,}5 = 0{,}75\) и \(0{,}5 + 0{,}02 \cdot 12{,}5 = 0{,}75\), а в точке \(x = 25\) — значение \(0{,}5 + 0{,}02 \cdot 25 = 1\). Функция распределения: \[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ 0{,}06x, & \text{при } 0 < x \leqslant 12{,}5, \\ 0{,}5 + 0{,}02x, & \text{при } 12{,}5 < x \leqslant 25, \\ 1, & \text{при } x > 25. \end{cases}\] Её производная — плотность: \(p(x) = 0{,}06\) на интервале \((0; 12{,}5)\), \(p(x) = 0{,}02\) на интервале \((12{,}5; 25)\) и \(p(x) = 0\) вне отрезка \([0; 25]\); значения в отдельных точках роли не играют. Среднее расстояние (в километрах): \[\begin{aligned} &E(X) = \int_0^{12{,}5} 0{,}06x\,dx + \int_{12{,}5}^{25} 0{,}02x\,dx = {} \\ &= 0{,}03x^2\,\Big|_0^{12{,}5} + 0{,}01x^2\,\Big|_{12{,}5}^{25} = {} \\ &= 0{,}03 \cdot 156{,}25 + 0{,}01 \cdot (625 - 156{,}25) = 4{,}6875 + 4{,}6875 = 9{,}375. \end{aligned}\] При втором расположении среднее расстояние до ближайшей станции меньше: \(9{,}375 < 12{,}5\), разница \(12{,}5 - 9{,}375 = 3{,}125\) (км). Значит, обслуживание станет эффективнее.

Ответ: да, будет: среднее расстояние от места поломки до ближайшей станции уменьшится с \(12{,}5\) км до \(9{,}375\) км.