Страница 89 номер 54, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

Пусть \(X\) — масса случайно взятого пакета, кг. По условию \(X\) распределена нормально с математическим ожиданием \(a = 1{,}06\); стандартное отклонение \(\sigma\) неизвестно, функция распределения \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - 1{,}06}{\sigma}\right) + 0{,}5\). Масса 5 % пакетов меньше 1 кг, т. е. \(P(X < 1) = 0{,}05\). Функция Лапласа нечётна, поэтому

\[P(X < 1) = F(1) = \Phi_0\left(\frac{1 - 1{,}06}{\sigma}\right) + 0{,}5 = 0{,}5 - \Phi_0\left(\frac{0{,}06}{\sigma}\right).\]

Приравняем эту вероятность к \(0{,}05\):

\[\begin{aligned} 0{,}5 - \Phi_0\left(\frac{0{,}06}{\sigma}\right) &= 0{,}05; \\ \Phi_0\left(\frac{0{,}06}{\sigma}\right) &= 0{,}45. \end{aligned}\]

В таблице значений функции Лапласа \(\Phi_0(1{,}64) = 0{,}4495\) и \(\Phi_0(1{,}65) = 0{,}4505\): число \(0{,}45\) лежит ровно посередине, поэтому \(\frac{0{,}06}{\sigma} \approx 1{,}645\) и \(\sigma \approx \frac{0{,}06}{1{,}645} \approx 0{,}0365\) (кг).

Масса 980 г — это \(0{,}98\) кг. Событие \(X > 0{,}98\) противоположно событию \(X \leqslant 0{,}98\):

\[\begin{aligned} &P(X > 0{,}98) = 1 - F(0{,}98) = 0{,}5 - \Phi_0\left(\frac{0{,}98 - 1{,}06}{\sigma}\right) = {} \\ &= 0{,}5 + \Phi_0\left(\frac{0{,}08}{\sigma}\right). \end{aligned}\]

Здесь \(\frac{0{,}08}{\sigma} \approx \frac{0{,}08}{0{,}06} \cdot 1{,}645 \approx 2{,}193\). В таблице после 2 аргумент идёт с шагом \(0{,}1\), ближайшее значение — \(2{,}2\), и \(\Phi_0(2{,}2) = 0{,}4861\). Значит, \(P(X > 0{,}98) \approx 0{,}5 + 0{,}4861 = 0{,}9861\), т. е. масса превышает 980 г примерно у \(98{,}61\,\%\) пакетов.

Ответ: масса превышает 980 г у \(\approx 98{,}61\,\%\) пакетов.