Страница 89 номер 51, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(Y\) — время ожидания очередного вызова, с; в минуту поступает в среднем 120 вызовов. Будем считать, что вероятность вызова за малый промежуток времени пропорциональна его длине и не зависит от того, сколько времени уже прошло без вызовов (допущение модели); тогда время ожидания очередного вызова имеет показательное распределение с параметром \(\lambda\) — средним числом вызовов за единицу времени.
\(\lambda = \frac{120}{60} = 2\) — среднее число вызовов в секунду.
а) \(Y\) имеет показательное распределение \(\mathbf{Exp}(2)\), его плотность
\[p(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x < 0, \\ 2e^{-2x}, & \text{при } x \geqslant 0. \end{cases}\]
Функция распределения величины \(Y\):
\[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x < 0, \\ 1 - e^{-2x}, & \text{при } x \geqslant 0. \end{cases}\]
б)
\[\begin{aligned} E(Y) &= \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2}; \\ D(Y) &= \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{4}. \end{aligned}\]
Очередного вызова ждут в среднем полсекунды.
в) \(Y\) — непрерывная величина, поэтому \(P(Y = 1) = 0\). Событие \(Y > 1\) противоположно событию \(Y \leqslant 1\), а \(P(Y \leqslant 1) = P(Y < 1) + P(Y = 1) = F(1)\):
\[\begin{aligned} P(Y < 1) &= F(1) = 1 - e^{-2} \approx 0{,}865; \\ P(Y > 1) &= 1 - F(1) = e^{-2} \approx 0{,}135. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(Y\) имеет показательное распределение \(\mathbf{Exp}(2)\): \(p(x) = 2e^{-2x}\) при \(x \geqslant 0\), \(p(x) = 0\) при \(x < 0\); б) \(E(Y) = \frac{1}{2}\) с, \(D(Y) = \frac{1}{4}\); в) \(P(Y < 1) = 1 - e^{-2} \approx 0{,}865\), \(P(Y > 1) = e^{-2} \approx 0{,}135\), \(P(Y = 1) = 0\).
Вызовы поступают в кол-центр в случайные моменты времени — это поток случайных событий. Будем считать, что вероятность вызова за малый промежуток времени пропорциональна его длине и не зависит от того, сколько времени уже прошло без вызовов (допущение модели). Тогда время ожидания очередного вызова имеет показательное распределение, параметр которого \(\lambda\) — интенсивность потока, т. е. среднее число вызовов за единицу времени. Единица времени — секунда: в минуту поступает в среднем 120 вызовов, значит, \(\lambda = \frac{120}{60} = 2\) вызова в секунду.
а) Время ожидания очередного вызова \(Y\) имеет показательное распределение \(\mathbf{Exp}(2)\), его плотность
\[p(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x < 0, \\ 2e^{-2x}, & \text{при } x \geqslant 0. \end{cases}\]
Функция распределения величины \(Y\):
\[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x < 0, \\ 1 - e^{-2x}, & \text{при } x \geqslant 0. \end{cases}\]
б)
\[\begin{aligned} E(Y) &= \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2}; \\ D(Y) &= \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{4}. \end{aligned}\]
Значит, очередного вызова ждут в среднем полсекунды.
в) \(Y\) — непрерывная величина, поэтому вероятность каждого её отдельного значения равна 0: \(P(Y = 1) = 0\). Событие \(Y > 1\) противоположно событию \(Y \leqslant 1\), а \(P(Y \leqslant 1) = P(Y < 1) + P(Y = 1) = F(1)\):
\[\begin{aligned} P(Y < 1) &= F(1) = 1 - e^{-2} \approx 0{,}865; \\ P(Y > 1) &= 1 - F(1) = e^{-2} \approx 0{,}135. \end{aligned}\]
Первую вероятность можно найти и интегралом плотности: \(P(Y < 1) = \int_0^1 2e^{-2x}\,dx = -e^{-2x}\Big|_0^1 = 1 - e^{-2}\).
Ответ: а) \(Y\) имеет показательное распределение \(\mathbf{Exp}(2)\): \(p(x) = 2e^{-2x}\) при \(x \geqslant 0\), \(p(x) = 0\) при \(x < 0\); б) \(E(Y) = \frac{1}{2}\) с, \(D(Y) = \frac{1}{4}\); в) \(P(Y < 1) = 1 - e^{-2} \approx 0{,}865\), \(P(Y > 1) = e^{-2} \approx 0{,}135\), \(P(Y = 1) = 0\).
