Страница 89 номер 55, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — диаметр случайно взятого шарика; по условию \(X\) распределена нормально с математическим ожиданием \(a = 0{,}5(d + D)\) (номинальный диаметр) и стандартным отклонением \(\sigma = 0{,}25(D - d)\), где \(D > d\); функция распределения \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - a}{\sigma}\right) + 0{,}5\). Шарик проходит через отверстие \(d\), если его диаметр меньше \(d\), и не проходит через отверстие \(D\), если его диаметр больше \(D\); значит, шарик годен, когда \(d \leqslant X \leqslant D\), и бракуется в противоположном случае.
Удаление границ от \(a\) в стандартных отклонениях (дроби сокращаем на \(D - d > 0\)):
\[\begin{aligned} \frac{D - a}{\sigma} &= \frac{D - 0{,}5d - 0{,}5D}{0{,}25(D - d)} = \frac{0{,}5(D - d)}{0{,}25(D - d)} = 2; \\ \frac{d - a}{\sigma} &= \frac{d - 0{,}5d - 0{,}5D}{0{,}25(D - d)} = \frac{-0{,}5(D - d)}{0{,}25(D - d)} = -2. \end{aligned}\]
Функция Лапласа нечётна, поэтому
\[\begin{aligned} &P(d \leqslant X \leqslant D) = F(D) - F(d) = \Phi_0(2) - \Phi_0(-2) = {} \\ &= 2\Phi_0(2) \approx 2 \cdot 0{,}4773 = 0{,}9546. \end{aligned}\]
Доля бракованных шариков — вероятность противоположного события: \(1 - P(d \leqslant X \leqslant D) \approx 1 - 0{,}9546 = 0{,}0454\). От самих \(d\) и \(D\) ответ не зависит: обе границы удалены от номинала на \(2\sigma\).
Ответ: доля бракованных шариков \(\approx 4{,}54\,\%\).
Пусть \(X\) — диаметр случайно взятого шарика. По условию \(X\) распределена нормально с математическим ожиданием \(a = 0{,}5(d + D)\) (номинальный диаметр) и стандартным отклонением \(\sigma = 0{,}25(D - d)\), где \(D > d\); её функция распределения \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - a}{\sigma}\right) + 0{,}5\). Шарик проходит через отверстие \(d\), если его диаметр меньше \(d\), и не проходит через отверстие \(D\), если его диаметр больше \(D\). Значит, шарик годен, когда \(d \leqslant X \leqslant D\), и бракуется в противоположном случае (вероятность каждого из значений \(X = d\) и \(X = D\) равна 0).
Найдём, на сколько стандартных отклонений границы \(d\) и \(D\) удалены от \(a\); дроби сокращаем на \(D - d > 0\):
\[\begin{aligned} \frac{D - a}{\sigma} &= \frac{D - 0{,}5d - 0{,}5D}{0{,}25(D - d)} = \frac{0{,}5(D - d)}{0{,}25(D - d)} = 2; \\ \frac{d - a}{\sigma} &= \frac{d - 0{,}5d - 0{,}5D}{0{,}25(D - d)} = \frac{-0{,}5(D - d)}{0{,}25(D - d)} = -2. \end{aligned}\]
Функция Лапласа нечётна, поэтому
\[\begin{aligned} &P(d \leqslant X \leqslant D) = F(D) - F(d) = \Phi_0(2) - \Phi_0(-2) = {} \\ &= 2\Phi_0(2) \approx 2 \cdot 0{,}4773 = 0{,}9546. \end{aligned}\]
Доля бракованных шариков — вероятность противоположного события: \(1 - P(d \leqslant X \leqslant D) \approx 1 - 0{,}9546 = 0{,}0454\), т. е. около \(4{,}54\,\%\). От самих \(d\) и \(D\) ответ не зависит: обе границы удалены от номинала на \(2\sigma\).
Ответ: доля бракованных шариков \(\approx 4{,}54\,\%\).
