Страница 88 номер 44, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

Петя ждёт автобус, автобусы ходят с интервалом 10 мин; Вася ждёт троллейбус, троллейбусы ходят с интервалом 5 мин; Таня уедет на любом из этих видов транспорта. Случайные величины \(X\), \(Y\), \(Z\) — время ожидания (в минутах) Пети, Васи и Тани.

Момент прихода на остановку случаен, поэтому время ожидания транспорта, который ходит с интервалом \(T\) мин, распределено равномерно на отрезке \([0; T]\): \(X\) — на отрезке \([0; 10]\), \(Y\) — на отрезке \([0; 5]\). Таня уедет на том, что подойдёт первым, поэтому \(Z\) — меньшее из двух чисел: времени ожидания автобуса и времени ожидания троллейбуса. Эти времена распределены так же, как \(X\) и \(Y\), и независимы, потому что расписания автобусов и троллейбусов между собой не связаны. Обозначим функции распределения величин \(X\), \(Y\), \(Z\) через \(F_X(x)\), \(F_Y(x)\), \(F_Z(x)\), а их плотности — через \(p_X(x)\), \(p_Y(x)\), \(p_Z(x)\).

а) Функция распределения равномерного распределения на отрезке \([a; b]\) равна \(\frac{x - a}{b - a}\) при \(a \leqslant x \leqslant b\), нулю левее этого отрезка и единице правее. Поэтому функция распределения величины \(X\): \[F_X(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ \frac{x}{10}, & \text{при } 0 < x \leqslant 10, \\ 1, & \text{при } x > 10. \end{cases}\] Функция распределения величины \(Y\): \[F_Y(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ \frac{x}{5}, & \text{при } 0 < x \leqslant 5, \\ 1, & \text{при } x > 5. \end{cases}\] Пусть \(0 < x \leqslant 5\). Таня ждёт не меньше \(x\) минут тогда и только тогда, когда ни автобус, ни троллейбус не подойдут раньше чем через \(x\) мин. Вероятности этих двух событий равны \(1 - F_X(x) = 1 - \frac{x}{10}\) и \(1 - F_Y(x) = 1 - \frac{x}{5}\), а сами события независимы, поэтому вероятности перемножаются: \[\begin{aligned} P(Z \geqslant x) &= \left(1 - \frac{x}{10}\right)\left(1 - \frac{x}{5}\right) = \frac{(10 - x)(5 - x)}{50}; \\ F_Z(x) &= 1 - P(Z \geqslant x) = \frac{50 - (50 - 15x + x^2)}{50} = \frac{x(15 - x)}{50}. \end{aligned}\] При \(x > 5\) троллейбус наверняка подойдёт раньше чем через \(x\) мин, поэтому \(F_Z(x) = 1\);
\(F_Z(x) = 0\) при \(x \leqslant 0\). В точке \(x = 5\) куски склеиваются: \(\frac{5 \cdot (15 - 5)}{50} = 1\). Функция распределения величины \(Z\): \[F_Z(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ \frac{x(15 - x)}{50}, & \text{при } 0 < x \leqslant 5, \\ 1, & \text{при } x > 5. \end{cases}\]

б) Плотности — производные функций распределения: \(p_X(x) = \frac{1}{10}\) при \(0 < x \leqslant 10\);
\(p_Y(x) = \frac15\) при \(0 < x \leqslant 5\);
\(p_Z(x) = \left(\frac{15x - x^2}{50}\right)' = \frac{15 - 2x}{50}\) при \(0 < x \leqslant 5\); вне указанных промежутков все три плотности равны 0 (в точках излома производных нет: у всех трёх функций — в точке \(x = 0\), у \(F_X(x)\) — в точке \(x = 10\), у \(F_Y(x)\) и \(F_Z(x)\) — в точке \(x = 5\); значение плотности в отдельной точке на вероятности не влияет). На промежутке \((0; 5]\) плотность \(p_Z(x)\) убывает: у левого конца она близка к \(\frac{15}{50} = 0{,}3\), а \(p_Z(5) = \frac{5}{50} = 0{,}1\); фигура под её графиком — трапеция с основаниями \(0{,}3\) и \(0{,}1\) и высотой 5, её площадь \(\frac{0{,}3 + 0{,}1}{2} \cdot 5 = 1\). Нарисуем графики трёх плотностей на одном чертеже (вне указанных промежутков все они идут по оси \(x\)):

в) Математическое ожидание равномерного распределения на отрезке \([a; b]\) равно \(\frac{a + b}{2}\), поэтому \(E(X) = \frac{0 + 10}{2} = 5\) (мин), \(E(Y) = \frac{0 + 5}{2} = 2{,}5\) (мин). Величина \(Z\) распределена не равномерно, её математическое ожидание (в минутах) находим по определению: \[\begin{aligned} &E(Z) = \int_0^5 x \cdot \frac{15 - 2x}{50}\,dx = \frac{1}{50}\left(\frac{15x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}\right)\Big|_0^5 = {} \\ &= \frac{1}{50}\left(\frac{375}{2} - \frac{250}{3}\right) = \frac{1}{50} \cdot \frac{625}{6} = \frac{25}{12}. \end{aligned}\] Тане в среднем приходится ждать меньше, чем Васе: \(\frac{25}{12} < \frac{30}{12} = 2{,}5\).

Ответ: а) \(F_X(x) = \frac{x}{10}\) при \(0 < x \leqslant 10\), \(F_Y(x) = \frac{x}{5}\) и \(F_Z(x) = \frac{x(15 - x)}{50}\) при \(0 < x \leqslant 5\); левее этих промежутков функции распределения равны 0, правее — 1; б) \(p_X(x) = \frac{1}{10}\) при \(0 < x \leqslant 10\), \(p_Y(x) = \frac15\) и \(p_Z(x) = \frac{15 - 2x}{50}\) при \(0 < x \leqslant 5\), вне этих промежутков плотности равны 0; в) \(E(X) = 5\) мин, \(E(Y) = 2{,}5\) мин, \(E(Z) = \frac{25}{12}\) мин.