Страница 90 номер 60, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

В посёлке 2500 жителей; поезд в город ходит раз в сутки, и каждый житель ездит на нём примерно 6 раз в месяц, выбирая дни случайно и независимо от остальных. Будем считать, что в месяце 30 дней (допущение модели); тогда в любой день каждый житель едет этим поездом с вероятностью \(p = \frac{6}{30} = 0{,}2\), \(q = 0{,}8\). Пусть \(X\) — число пассажиров поезда в какой-то день. Величина \(X\) — число успехов в \(N = 2500\) испытаниях Бернулли:

\[\begin{aligned} Np &= 2500 \cdot 0{,}2 = 500; \\ Npq &= 2500 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 400. \end{aligned}\]

Значит, \(\sqrt{Npq} = \sqrt{400} = 20\). Условия применимости формулы Муавра — Лапласа выполнены: \(N = 2500 \geqslant 50\), \(Np = 500 \geqslant 10\), \(Nq = 2000 \geqslant 10\).

Пусть \(M\) — вместимость поезда; он переполняется, когда \(X > M\). «В среднем один раз за 100 дней» означает, что вероятность переполнения должна быть не больше \(\frac{1}{100} = 0{,}01\), т. е. вероятность противоположного события \(X \leqslant M\) — не меньше \(0{,}99\). По формуле Муавра — Лапласа, учитывая нечётность функции Лапласа,

\[\begin{aligned} &P(X \leqslant M) = P(0 \leqslant X \leqslant M) \approx {} \\ &\approx \Phi_0\left(\frac{M + 0{,}5 - 500}{20}\right) - \Phi_0\left(\frac{0 - 0{,}5 - 500}{20}\right) = {} \\ &= \Phi_0\left(\frac{M - 499{,}5}{20}\right) + \Phi_0(25{,}025) \approx \Phi_0\left(\frac{M - 499{,}5}{20}\right) + 0{,}5. \end{aligned}\]

Здесь \(\Phi_0(25{,}025) \approx 0{,}5\): при больших значениях аргумента функция Лапласа практически равна \(0{,}5\). Нужно, чтобы \(\Phi_0\left(\frac{M - 499{,}5}{20}\right) + 0{,}5 \geqslant 0{,}99\), т. е. \(\Phi_0\left(\frac{M - 499{,}5}{20}\right) \geqslant 0{,}49\). В таблице значений функции Лапласа после 2 аргумент идёт с шагом \(0{,}1\): \(\Phi_0(2{,}3) = 0{,}4893 < 0{,}49 < \Phi_0(2{,}4) = 0{,}4918\); по более подробной таблице \(\Phi_0(2{,}32) \approx 0{,}4898\), \(\Phi_0(2{,}33) \approx 0{,}4901\), поэтому первое значение аргумента (с точностью до сотых), при котором \(\Phi_0(x) \geqslant 0{,}49\), равно \(2{,}33\). Функция \(\Phi_0\) возрастает, поэтому

\[\begin{aligned} \frac{M - 499{,}5}{20} &\geqslant 2{,}33; \\ M &\geqslant 499{,}5 + 2{,}33 \cdot 20 = 546{,}1. \end{aligned}\]

Наименьшее целое \(M = 547\). Проверим подстановкой \(M = 547\) и \(M = 546\): аргумент функции Лапласа равен \(\frac{47{,}5}{20} = 2{,}375 \approx 2{,}4\) и \(\frac{46{,}5}{20} = 2{,}325 \approx 2{,}3\), а \(P(X > M) = 1 - P(X \leqslant M) \approx 0{,}5 - \Phi_0\left(\frac{M - 499{,}5}{20}\right)\):

\[\begin{aligned} P(X > 547) &\approx 0{,}5 - \Phi_0(2{,}4) \approx 0{,}5 - 0{,}4918 = 0{,}0082; \\ P(X > 546) &\approx 0{,}5 - \Phi_0(2{,}3) \approx 0{,}5 - 0{,}4893 = 0{,}0107. \end{aligned}\]

Значит, при вместимости 547 человек поезд переполняется с вероятностью около \(0{,}008\), т. е. в среднем не чаще одного раза за 100 дней, а при вместимости 546 человек — чаще.

Неравенство Чебышёва при тех же данных даёт вместимость 700 человек — оно верно для любой случайной величины с такими же математическим ожиданием и дисперсией; формула Муавра — Лапласа даёт приближённый, но более точный ответ, потому что учитывает близость биномиального закона к нормальному.

Ответ: наименьшая вместимость поезда — 547 человек.