Страница 51 номер 36, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
С 1871 по 1900 г. в Швейцарии родились 1 379 671 мальчик и 1 285 086 девочек. Совместимы ли эти данные с представлением о том, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковые? Указание: проверьте эту гипотезу на разных уровнях значимости.
\(N = 1\,379\,671 + 1\,285\,086 = 2\,664\,757\) — всего родилось детей. Рождения — независимые испытания Бернулли, в каждом из которых мальчик рождается с одной и той же вероятностью \(p\) (допущение модели).
\(Y = \frac{1\,379\,671}{2\,664\,757} \approx 0{,}5177\) — частота рождения мальчиков.
\(H_0\): \(p = 0{,}5\) — вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы; \(H_1\): \(p \ne 0{,}5\) (двусторонняя альтернатива); критическая область — \(|Y - 0{,}5| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - 0{,}5| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}5\) — вероятность из гипотезы \(H_0\); из равенства \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), где \(\alpha\) — уровень значимости, получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\).
\(p(1 - p) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\) — числитель дроби под корнем.
\(Y - 0{,}5 \approx 0{,}0177\) — отклонение частоты от \(0{,}5\).
При \(\alpha = 0{,}1\): \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}25}{2\,664\,757 \cdot 0{,}1}} \approx 0{,}000969\).
При \(\alpha = 0{,}05\): \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}25}{2\,664\,757 \cdot 0{,}05}} \approx 0{,}00137\).
При \(\alpha = 0{,}01\): \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}25}{2\,664\,757 \cdot 0{,}01}} \approx 0{,}00306\).
Отклонение \(0{,}0177\) больше каждого из этих значений, даже при \(\alpha = 0{,}01\) — почти в 6 раз: частота рождения мальчиков попадает в критическую область на всех трёх уровнях. Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: можно считать, что вероятности рождения мальчика и девочки не одинаковы — мальчики рождаются чаще.
Ответ: нет, не совместимы: отклонение частоты рождения мальчиков от \(0{,}5\) (около \(0{,}0177\)) больше критического значения на каждом из уровней значимости \(0{,}1\); \(0{,}05\); \(0{,}01\) (даже при \(\alpha = 0{,}01\) критическое значение \(\delta \approx 0{,}00306\)), поэтому гипотезу о равных вероятностях рождения мальчика и девочки отвергаем.
С 1871 по 1900 г. в Швейцарии родились 1 379 671 мальчик и 1 285 086 девочек. Совместимы ли эти данные с представлением о том, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковые? Указание: проверьте эту гипотезу на разных уровнях значимости.
Всего за эти годы родилось \(N =1\,379\,671 + 1\,285\,086 = 2\,664\,757\) детей. Будем считать рождения независимыми испытаниями Бернулли, в каждом из которых мальчик рождается с одной и той же вероятностью \(p\) (допущение модели). Частота рождения мальчиков
\[Y = \frac{1\,379\,671}{2\,664\,757} \approx 0{,}5177.\]
Вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, если \(p = 0{,}5\). Проверяем гипотезу \(H_0\): \(p = 0{,}5\) против двусторонней альтернативы \(H_1\): \(p \ne 0{,}5\); критическая область — \(|Y - 0{,}5| \geqslant \delta\). Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - 0{,}5| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}5\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\); здесь числитель равен \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Частота отклоняется от \(0{,}5\) на \(Y - 0{,}5 \approx 0{,}0177\).
Проверим гипотезу на трёх стандартных уровнях значимости. При \(\alpha = 0{,}1\) критическое отклонение \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}25}{2\,664\,757 \cdot 0{,}1}} \approx 0{,}000969\), при \(\alpha = 0{,}05\) — \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}25}{2\,664\,757 \cdot 0{,}05}} \approx 0{,}00137\), при \(\alpha = 0{,}01\) — \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}25}{2\,664\,757 \cdot 0{,}01}} \approx 0{,}00306\). Отклонение \(0{,}0177\) больше каждого из этих значений, даже при \(\alpha = 0{,}01\) — почти в 6 раз. Значит, частота рождения мальчиков попадает в критическую область на всех трёх уровнях, и гипотезу \(H_0\) отвергаем: можно считать, что вероятности рождения мальчика и девочки не одинаковы — мальчики рождаются чаще.
Ответ: нет, не совместимы: отклонение частоты рождения мальчиков от \(0{,}5\) (около \(0{,}0177\)) больше критического значения на каждом из уровней значимости \(0{,}1\); \(0{,}05\); \(0{,}01\) (даже при \(\alpha = 0{,}01\) критическое значение \(\delta \approx 0{,}00306\)), поэтому гипотезу о равных вероятностях рождения мальчика и девочки отвергаем.
