Вопросы к пункту 5 «Связь биномиального и нормального распределений» на странице 87, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Вопросы к пункту 5 «Связь биномиального и нормального распределений».

Биномиальное распределение \(\mathbf{Bin}(N;\ p)\) имеет случайная величина \(X\) — число успехов в серии из \(N\) независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом. Её значения — целые числа от 0 до \(N\), а вероятности находят по формуле Бернулли (\(q = 1 - p\) — вероятность неудачи):

\[P(X = k) = C_N^k p^k q^{N - k}, \quad k = 0, 1, \ldots, N.\]

Например, число орлов \(X\) при 10 бросаниях монеты имеет распределение \(\mathbf{Bin}(10;\ 0{,}5)\), и \(P(X = 5) = C_{10}^5 \cdot 0{,}5^{10} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256} \approx 0{,}246\).

Ответ: распределение числа успехов \(X\) в \(N\) независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(p\): \(P(X = k) = C_N^k p^k q^{N - k}\), \(k = 0, 1, \ldots, N\), где \(q = 1 - p\); обозначение \(\mathbf{Bin}(N;\ p)\).

Для величины \(X\) с распределением \(\mathbf{Bin}(N;\ p)\)

\[\begin{aligned} E(X) &= Np; \\ D(X) &= Npq. \end{aligned}\]

Число успехов \(X\) — сумма \(N\) индикаторов успеха в отдельных испытаниях. Индикатор принимает значение 1 с вероятностью \(p\) и 0 с вероятностью \(q\), поэтому его математическое ожидание равно \(p\), а дисперсия — \(p - p^2 = pq\). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а испытания независимы, поэтому и дисперсия суммы равна сумме дисперсий: \(E(X) = p + p + \ldots + p = Np\), \(D(X) = pq + pq + \ldots + pq = Npq\). Например, число шестёрок при 60 бросаниях кубика имеет распределение \(\mathbf{Bin}\left(60;\ \frac{1}{6}\right)\), и \(E(X) = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10\), \(D(X) = 60 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{3}\).

Ответ: \(E(X) = Np\), \(D(X) = Npq\), где \(q = 1 - p\).

По теореме Муавра — Лапласа при увеличении числа испытаний \(N\) биномиальное распределение \(\mathbf{Bin}(N;\ p)\) приближается к нормальному распределению с тем же математическим ожиданием \(Np\) и той же дисперсией \(Npq\), т. е. к \(N(Np;\ Npq)\): полигон вероятностей биномиального закона почти совпадает с графиком нормальной плотности. Это частный случай центральной предельной теоремы: число успехов — сумма \(N\) независимых индикаторов, а сумма большого числа независимых слагаемых, среди которых нет сильно выделяющихся, распределена почти нормально.

На практике считают, что при \(N \geqslant 50\), \(Np \geqslant 10\), \(Nq \geqslant 10\) биномиальное распределение практически не отличается от нормального. Тогда вероятность того, что число успехов попадёт в заданные пределы, находят с помощью функции Лапласа \(\Phi_0(x)\), а не суммированием многих вероятностей по формуле Бернулли. Например, число орлов при 400 бросаниях монеты распределено почти так же, как нормальная величина \(N(200;\ 100)\).

Ответ: при большом числе испытаний \(N\) биномиальное распределение \(\mathbf{Bin}(N;\ p)\) близко к нормальному \(N(Np;\ Npq)\) с теми же математическим ожиданием и дисперсией (теорема Муавра — Лапласа); на практике — при \(N \geqslant 50\), \(Np \geqslant 10\), \(Nq \geqslant 10\).

Пусть \(X\) — число успехов в \(N\) испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(p\), \(q = 1 - p\), а \(k_1 \leqslant k_2\) — целые числа. Интегральная формула Муавра — Лапласа:

\[P(k_1 \leqslant X \leqslant k_2) \approx \Phi_0\left(\frac{k_2 + 0{,}5 - Np}{\sqrt{Npq}}\right) - \Phi_0\left(\frac{k_1 - 0{,}5 - Np}{\sqrt{Npq}}\right).\]

Её можно применять, когда \(N \geqslant 50\), \(Np \geqslant 10\), \(Nq \geqslant 10\): тогда распределение \(X\) практически не отличается от нормального с математическим ожиданием \(Np\) и дисперсией \(Npq\), функция распределения которого \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - Np}{\sqrt{Npq}}\right) + 0{,}5\), и \(P(k_1 \leqslant X \leqslant k_2) \approx F(k_2 + 0{,}5) - F(k_1 - 0{,}5)\). Слагаемые \(+0{,}5\) и \(-0{,}5\) — поправка на непрерывность: биномиальное распределение дискретное, а нормальное непрерывное, и каждое целое значение \(k\) заменяют промежутком от \(k - 0{,}5\) до \(k + 0{,}5\); это повышает точность.

Например, монету бросают 400 раз; найдём вероятность того, что число орлов \(X\) окажется от 190 до 210. Здесь \(N = 400 \geqslant 50\), \(p = q = 0{,}5\), \(Np = Nq = 200 \geqslant 10\), \(Npq = 100\), \(\sqrt{Npq} = 10\):

\[\begin{aligned} &P(190 \leqslant X \leqslant 210) \approx \Phi_0\left(\frac{210{,}5 - 200}{10}\right) - \Phi_0\left(\frac{189{,}5 - 200}{10}\right) = {} \\ &= \Phi_0(1{,}05) - \Phi_0(-1{,}05) = 2\Phi_0(1{,}05) \approx {} \\ &\approx 2 \cdot 0{,}3531 = 0{,}7062. \end{aligned}\]

Ответ: \(P(k_1 \leqslant X \leqslant k_2) \approx \Phi_0\left(\frac{k_2 + 0{,}5 - Np}{\sqrt{Npq}}\right) - \Phi_0\left(\frac{k_1 - 0{,}5 - Np}{\sqrt{Npq}}\right)\); применять её можно при \(N \geqslant 50\), \(Np \geqslant 10\), \(Nq \geqslant 10\).