Страница 51 номер 38, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(p\) — вероятность успешной первой подачи после курса тренировок, до него она была равна \(0{,}4\); подачи — независимые испытания Бернулли (допущение модели). Из \(N = 25\) подач успешны \(k\), \(Y = \frac{k}{25}\) — частота успешных подач; уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
\(H_0\): \(p = 0{,}4\) — подача не улучшилась; \(H_1\): \(p > 0{,}4\) — улучшилась. Признать улучшение — значит отвергнуть гипотезу \(H_0\). Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(Y \geqslant 0{,}4 + \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) \(P(|Y - 0{,}4| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}4\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Луч \(Y \geqslant 0{,}4 + \delta\) — часть области \(|Y - 0{,}4| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы; из равенства \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{25 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{0{,}096} \approx 0{,}310.\]
Частота \(\frac{k}{25}\) должна попасть в критическую область:
\[\begin{aligned} \frac{k}{25} &\geqslant 0{,}4 + \delta; \qquad | \cdot 25 \\ k &\geqslant 25(0{,}4 + \delta) \approx 17{,}75. \end{aligned}\]
Число \(k\) целое, а наименьшее целое число, не меньшее \(17{,}75\), — это 18. Проверка: при \(k = 18\) частота больше \(0{,}4\) на \(\frac{18}{25} - 0{,}4 = 0{,}32\), и \(0{,}32^2 = 0{,}1024 \geqslant \delta^2 = 0{,}096\) — частота попадает в критическую область; при \(k = 17\) — на \(\frac{17}{25} - 0{,}4 = 0{,}28\), и \(0{,}28^2 = 0{,}0784 < 0{,}096\) — не попадает.
Ответ: не менее 18 успешных подач из 25.
Пусть \(p\) — вероятность успешной первой подачи после курса тренировок; до него она была равна \(0{,}4\). Подачи будем считать независимыми испытаниями Бернулли (допущение модели). Пусть из \(N = 25\) подач успешны \(k\); частота успешных подач \(Y = \frac{k}{25}\). Уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
Нулевая гипотеза \(H_0\): \(p = 0{,}4\) — подача не улучшилась; альтернатива \(H_1\): \(p > 0{,}4\) — улучшилась. Признать улучшение — значит отвергнуть гипотезу \(H_0\). Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(Y \geqslant 0{,}4 + \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) \(P(|Y - 0{,}4| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}4\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Луч \(Y \geqslant 0{,}4 + \delta\) — часть области \(|Y - 0{,}4| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы. Приравняв её к уровню значимости, \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{25 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{0{,}096} \approx 0{,}310.\]
Частота \(\frac{k}{25}\) должна попасть в критическую область. Умножим обе части неравенства на 25:
\[\begin{aligned} \frac{k}{25} &\geqslant 0{,}4 + \delta; \qquad | \cdot 25 \\ k &\geqslant 25(0{,}4 + \delta) \approx 17{,}75. \end{aligned}\]
Число \(k\) целое, а наименьшее целое число, не меньшее \(17{,}75\), — это 18. Проверка: при \(k = 18\) частота больше \(0{,}4\) на \(\frac{18}{25} - 0{,}4 = 0{,}32\), и \(0{,}32^2 = 0{,}1024 \geqslant \delta^2 = 0{,}096\) — частота попадает в критическую область; при \(k = 17\) — на \(\frac{17}{25} - 0{,}4 = 0{,}28\), и \(0{,}28^2 = 0{,}0784 < 0{,}096\) — не попадает.
Ответ: не менее 18 успешных подач из 25.
