Вопросы к пункту 3 «Свойства функции распределения» на странице 59, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 3 «Свойства функции распределения».
\(F(x)\) — вероятность события \(X < x\), а вероятность лежит в промежутке от 0 до 1, поэтому \(0 \leqslant F(x) \leqslant 1\) для любого \(x\).
Ответ: все значения функции распределения лежат на отрезке \([0; 1]\): \(0 \leqslant F(x) \leqslant 1\).
Если \(x_1 < x_2\), то событие \(X < x_1\) содержится в событии \(X < x_2\), поэтому \(P(X < x_1) \leqslant P(X < x_2)\), то есть \(F(x_1) \leqslant F(x_2)\): функция \(F(x)\) не убывает. Возрастать она не обязана: если все значения величины \(X\) лежат на отрезке \([0; 1]\), то \(F(x) = 0\) при всех \(x \leqslant 0\) и \(F(x) = 1\) при всех \(x > 1\).
Ответ: функция \(F(x)\) монотонно не убывает: если \(x_1 < x_2\), то \(F(x_1) \leqslant F(x_2)\).
Событие \(X < -\infty\) невозможно, а событие \(X < +\infty\) достоверно, поэтому при \(x \to -\infty\) значение \(F(x)\) стремится к 0, а при \(x \to +\infty\) — к 1. Если все значения \(X\) лежат на отрезке \([a; b]\), то \(F(x) = 0\) при всех \(x \leqslant a\) и \(F(x) = 1\) при всех \(x > b\).
Ответ: \(F(-\infty) = 0\), \(F(+\infty) = 1\): при \(x \to -\infty\) функция \(F(x)\) стремится к 0, при \(x \to +\infty\) — к 1.
Вопросы к пункту 3 «Свойства функции распределения».
Значение \(F(x)\) в любой точке \(x\) — вероятность события \(X < x\), а вероятность всегда лежит в промежутке от 0 до 1. Поэтому для любого \(x\) выполняется неравенство \(0 \leqslant F(x) \leqslant 1\).
Ответ: все значения функции распределения лежат на отрезке \([0; 1]\): \(0 \leqslant F(x) \leqslant 1\).
Функция \(F(x)\) не убывает на всей числовой прямой. Если \(x_1 < x_2\), то событие \(X < x_1\) содержится в событии \(X < x_2\) (всякое число, меньшее \(x_1\), меньше и \(x_2\)), поэтому \(P(X < x_1) \leqslant P(X < x_2)\), т. е. \(F(x_1) \leqslant F(x_2)\). Возрастать функция \(F(x)\) не обязана: например, если все значения величины \(X\) лежат на отрезке \([0; 1]\), то \(F(x) = 0\) при всех \(x \leqslant 0\) и \(F(x) = 1\) при всех \(x > 1\).
Ответ: функция \(F(x)\) монотонно не убывает: если \(x_1 < x_2\), то \(F(x_1) \leqslant F(x_2)\).
\(F(-\infty) = 0\) и \(F(+\infty) = 1\): при \(x \to -\infty\) значение \(F(x)\) стремится к 0, а при \(x \to +\infty\) — к 1. Причина в том, что событие \(X < -\infty\) невозможно, а событие \(X < +\infty\) достоверно. Если все значения величины \(X\) лежат на отрезке \([a; b]\), то \(F(x) = 0\) при всех \(x \leqslant a\) и \(F(x) = 1\) при всех \(x > b\): левее отрезка функция распределения тождественно равна 0, правее — 1.
Ответ: \(F(-\infty) = 0\), \(F(+\infty) = 1\): при \(x \to -\infty\) функция \(F(x)\) стремится к 0, при \(x \to +\infty\) — к 1.
