Страница 88 номер 41, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
В квадрат со стороной 1 бросают случайную точку \(M\); \(X\) — расстояние от \(M\) до ближайшей стороны квадрата. Ни одна точка квадрата не удалена от всех его сторон больше чем на половину стороны, поэтому все значения \(X\) лежат на отрезке \([0; 0{,}5]\).
а) Пусть \(0 < x \leqslant 0{,}5\). Событие \(X \geqslant x\) означает, что точка \(M\) удалена от каждой стороны квадрата не меньше чем на \(x\), то есть лежит во внутреннем квадрате, стороны которого параллельны сторонам данного и отстоят от них на \(x\). Сторона внутреннего квадрата равна \(1 - 2x\), поэтому по геометрическому определению вероятности \(P(X \geqslant x) = \frac{(1 - 2x)^2}{1^2} = (1 - 2x)^2\). Значит, \[F(x) = P(X < x) = 1 - P(X \geqslant x) = 1 - (1 - 2x)^2.\] При \(x \leqslant 0\) событие \(X < x\) невозможно и \(F(x) = 0\), при \(x > 0{,}5\) оно достоверно и \(F(x) = 1\). Куски склеиваются непрерывно: \(1 - (1 - 2 \cdot 0)^2 = 0\), \(1 - (1 - 2 \cdot 0{,}5)^2 = 1\). Функция распределения: \[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ 1 - (1 - 2x)^2, & \text{при } 0 < x \leqslant 0{,}5, \\ 1, & \text{при } x > 0{,}5. \end{cases}\]
б) На интервале \((0; 0{,}5)\) функция \(F(x) = 1 - (1 - 2x)^2 = 4x - 4x^2\), её производная \((4x - 4x^2)' = 4 - 8x = 4(1 - 2x)\); вне отрезка \([0; 0{,}5]\) функция \(F(x)\) постоянна и её производная равна 0. В точке \(x = 0{,}5\) производные слева и справа равны 0, а в точке \(x = 0\) у графика \(F(x)\) излом (производная слева равна 0, справа — 4), и производной нет; значение плотности в отдельной точке на вероятности и интегралы не влияет. Значит, \[p(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ 4(1 - 2x), & \text{при } 0 < x \leqslant 0{,}5, \\ 0, & \text{при } x > 0{,}5. \end{cases}\]
в) Вне отрезка \([0; 0{,}5]\) плотность равна 0, поэтому интегралы берём по этому отрезку: \[\begin{aligned} &E(X) = \int_0^{0{,}5} x \cdot 4(1 - 2x)\,dx = {} \\ &= \left(2x^2 - \frac{8x^3}{3}\right)\Big|_0^{0{,}5} = \frac12 - \frac13 = \frac16. \end{aligned}\] Математическое ожидание квадрата: \[\begin{aligned} &E(X^2) = \int_0^{0{,}5} x^2 \cdot 4(1 - 2x)\,dx = {} \\ &= \left(\frac{4x^3}{3} - 2x^4\right)\Big|_0^{0{,}5} = \frac16 - \frac18 = \frac{1}{24}. \end{aligned}\] Дисперсия: \[D(X) = E(X^2) - E^2(X) = \frac{1}{24} - \frac{1}{36} = \frac{1}{72} \approx 0{,}014.\]
Ответ: а) \(F(x) = 0\) при \(x \leqslant 0\), \(F(x) = 1 - (1 - 2x)^2\) при \(0 < x \leqslant 0{,}5\), \(F(x) = 1\) при \(x > 0{,}5\); б) \(p(x) = 4(1 - 2x)\) при \(0 < x \leqslant 0{,}5\), \(p(x) = 0\) при остальных \(x\); в) \(E(X) = \frac16\), \(D(X) = \frac{1}{72} \approx 0{,}014\).
В квадрат со стороной 1 бросают случайную точку \(M\); \(X\) — расстояние от \(M\) до ближайшей стороны квадрата. Ни одна точка квадрата не удалена от всех его сторон больше чем на половину стороны, поэтому все значения \(X\) лежат на отрезке \([0; 0{,}5]\).
а) Пусть \(0 < x \leqslant 0{,}5\). Событие \(X \geqslant x\) означает, что точка \(M\) удалена от каждой стороны квадрата не меньше чем на \(x\), т. е. лежит во внутреннем квадрате, стороны которого параллельны сторонам данного и отстоят от них на \(x\). Сторона внутреннего квадрата равна \(1 - 2x\), поэтому по геометрическому определению вероятности \(P(X \geqslant x) = \frac{(1 - 2x)^2}{1^2} = (1 - 2x)^2\). Значит, \[F(x) = P(X < x) = 1 - P(X \geqslant x) = 1 - (1 - 2x)^2.\] При \(x \leqslant 0\) событие \(X < x\) невозможно и \(F(x) = 0\), при \(x > 0{,}5\) оно достоверно и \(F(x) = 1\). Куски склеиваются непрерывно: \(1 - (1 - 2 \cdot 0)^2 = 0\), \(1 - (1 - 2 \cdot 0{,}5)^2 = 1\). Функция распределения: \[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ 1 - (1 - 2x)^2, & \text{при } 0 < x \leqslant 0{,}5, \\ 1, & \text{при } x > 0{,}5. \end{cases}\]
б) На интервале \((0; 0{,}5)\) функция \(F(x) = 1 - (1 - 2x)^2 = 4x - 4x^2\), её производная \((4x - 4x^2)' = 4 - 8x = 4(1 - 2x)\); вне отрезка \([0; 0{,}5]\) функция \(F(x)\) постоянна и её производная равна 0. В точке \(x = 0{,}5\) производные слева и справа равны 0, а в точке \(x = 0\) у графика \(F(x)\) излом (производная слева равна 0, справа — 4), и производной нет; значение плотности в отдельной точке на вероятности и интегралы не влияет. Значит, \[p(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ 4(1 - 2x), & \text{при } 0 < x \leqslant 0{,}5, \\ 0, & \text{при } x > 0{,}5. \end{cases}\] Проверка: фигура под графиком плотности — прямоугольный треугольник с катетами \(0{,}5\) и 4, его площадь \(\frac12 \cdot 0{,}5 \cdot 4 = 1\).
в) Вне отрезка \([0; 0{,}5]\) плотность равна 0, поэтому интегралы берём по этому отрезку. Математическое ожидание: \[\begin{aligned} &E(X) = \int_0^{0{,}5} x \cdot 4(1 - 2x)\,dx = {} \\ &= \left(2x^2 - \frac{8x^3}{3}\right)\Big|_0^{0{,}5} = \frac12 - \frac13 = \frac16. \end{aligned}\] Математическое ожидание квадрата: \[\begin{aligned} &E(X^2) = \int_0^{0{,}5} x^2 \cdot 4(1 - 2x)\,dx = {} \\ &= \left(\frac{4x^3}{3} - 2x^4\right)\Big|_0^{0{,}5} = \frac16 - \frac18 = \frac{1}{24}. \end{aligned}\] Дисперсия: \[D(X) = E(X^2) - E^2(X) = \frac{1}{24} - \frac{1}{36} = \frac{1}{72} \approx 0{,}014.\]
Ответ: а) \(F(x) = 0\) при \(x \leqslant 0\), \(F(x) = 1 - (1 - 2x)^2\) при \(0 < x \leqslant 0{,}5\), \(F(x) = 1\) при \(x > 0{,}5\); б) \(p(x) = 4(1 - 2x)\) при \(0 < x \leqslant 0{,}5\), \(p(x) = 0\) при остальных \(x\); в) \(E(X) = \frac16\), \(D(X) = \frac{1}{72} \approx 0{,}014\).
