Страница 90 номер 57, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — годовой уровень осадков, мм; по условию \(X\) распределена нормально с математическим ожиданием \(a = 400\) и стандартным отклонением \(\sigma = 40\), функция распределения \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - 400}{40}\right) + 0{,}5\). В данный год уровень осадков превысит 500 мм с вероятностью
\[\begin{aligned} &p = P(X > 500) = 1 - F(500) = 0{,}5 - \Phi_0\left(\frac{500 - 400}{40}\right) = {} \\ &= 0{,}5 - \Phi_0(2{,}5) \approx 0{,}5 - 0{,}4938 = 0{,}0062. \end{aligned}\]
Уровни осадков в разные годы считаем независимыми (допущение модели). Ждать не менее 10 лет, пока годовой уровень осадков превысит 500 мм, придётся тогда и только тогда, когда ни в один из первых 9 лет уровень не превысит 500 мм; в каждый год он не превышает 500 мм с вероятностью \(q = 1 - p \approx 1 - 0{,}0062 = 0{,}9938\), поэтому искомая вероятность
\[q^9 \approx 0{,}9938^9 \approx 0{,}9456.\]
Ответ: вероятность того, что придётся ждать не менее 10 лет, пока годовой уровень осадков превысит 500 мм, \(\approx 0{,}9456\).
Пусть \(X\) — годовой уровень осадков, мм. По условию \(X\) распределена нормально, её математическое ожидание \(a = 400\) («в среднем 400 мм»), стандартное отклонение \(\sigma = 40\); функция распределения \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - 400}{40}\right) + 0{,}5\). Вероятность того, что в данный год уровень осадков превысит 500 мм:
\[\begin{aligned} &p = P(X > 500) = 1 - F(500) = 0{,}5 - \Phi_0\left(\frac{500 - 400}{40}\right) = {} \\ &= 0{,}5 - \Phi_0(2{,}5) \approx 0{,}5 - 0{,}4938 = 0{,}0062. \end{aligned}\]
Будем считать уровни осадков в разные годы независимыми (допущение модели). Ждать не менее 10 лет, пока годовой уровень осадков превысит 500 мм, придётся тогда и только тогда, когда ни в один из первых 9 лет уровень не превысит 500 мм, т. е. первое превышение случится на десятый год или позже. В каждый год уровень не превышает 500 мм с вероятностью \(q = 1 - p \approx 1 - 0{,}0062 = 0{,}9938\), годы независимы, поэтому искомая вероятность
\[q^9 \approx 0{,}9938^9 \approx 0{,}9456.\]
Ответ: вероятность того, что придётся ждать не менее 10 лет, пока годовой уровень осадков превысит 500 мм, \(\approx 0{,}9456\).
