Страница 50 номер 31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Фирма разослала 1000 новых рекламных каталогов и получила 120 заказов. Можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать, что эффективность рекламы повысилась, если ранее она составляла около 10%?
\(p\) — вероятность того, что новый каталог принесёт заказ (эффективность рекламы); каталоги — независимые испытания Бернулли с одной и той же вероятностью успеха \(p\) (допущение модели); \(Y = \frac{120}{1000} = 0{,}12\) — частота заказов, \(N = 1000\); ранее эффективность рекламы составляла около 10 %; уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
\(H_0\): \(p = 0{,}1\) — эффективность рекламы не изменилась; \(H_1\): \(p > 0{,}1\) — повысилась. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(Y \geqslant 0{,}1 + \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) \(P(|Y - 0{,}1| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}1\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Луч \(Y \geqslant 0{,}1 + \delta\) — часть области \(|Y - 0{,}1| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы; из равенства \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}1 \cdot 0{,}9}{1000 \cdot 0{,}05}} = \sqrt{0{,}0018} \approx 0{,}0424.\]
Критическая область: \(Y \geqslant 0{,}1 + \delta \approx 0{,}1424\).
Частота \(0{,}12\) меньше \(0{,}1424\) и в критическую область не попадает: она больше \(0{,}1\) лишь на \(0{,}12 - 0{,}1 = 0{,}02\), а это меньше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) принимаем: на уровне значимости \(0{,}05\) нет оснований утверждать, что эффективность рекламы повысилась.
Ответ: нет, на уровне значимости \(0{,}05\) утверждать, что эффективность рекламы повысилась, нельзя: частота заказов \(0{,}12\) меньше границы критической области \(0{,}1 + \delta \approx 0{,}1424\).
Фирма разослала 1000 новых рекламных каталогов и получила 120 заказов. Можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать, что эффективность рекламы повысилась, если ранее она составляла около 10%?
Пусть \(p\) — вероятность того, что новый каталог принесёт заказ (эффективность рекламы). Каталоги будем считать независимыми испытаниями Бернулли с одной и той же вероятностью успеха \(p\) (допущение модели): \(N = 1000\), заказов 120, частота \(Y = \frac{120}{1000} = 0{,}12\). Ранее эффективность рекламы составляла около 10 %. Уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
Нулевая гипотеза \(H_0\): \(p = 0{,}1\) — эффективность рекламы не изменилась; альтернатива \(H_1\): \(p > 0{,}1\) — повысилась. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(Y \geqslant 0{,}1 + \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) \(P(|Y - 0{,}1| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}1\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Луч \(Y \geqslant 0{,}1 + \delta\) — часть области \(|Y - 0{,}1| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы. Приравняв её к уровню значимости, \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}1 \cdot 0{,}9}{1000 \cdot 0{,}05}} = \sqrt{0{,}0018} \approx 0{,}0424.\]
Критическая область: \(Y \geqslant 0{,}1 + \delta \approx 0{,}1424\). Частота \(0{,}12\) меньше \(0{,}1424\) и в критическую область не попадает: она больше \(0{,}1\) лишь на \(0{,}12 - 0{,}1 = 0{,}02\), а это меньше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) принимаем: на уровне значимости \(0{,}05\) нет оснований утверждать, что эффективность рекламы повысилась.
Ответ: нет, на уровне значимости \(0{,}05\) утверждать, что эффективность рекламы повысилась, нельзя: частота заказов \(0{,}12\) меньше границы критической области \(0{,}1 + \delta \approx 0{,}1424\).
