Страница 89 номер 48, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Докажите, что если случайная величина \(X\) равномерно распределена в промежутке \((0; 1)\), то \(Y = (b - a)X + a\) имеет равномерное распределение на \((a; b)\).
Промежуток \((a; b)\) задан, значит, \(a < b\) и \(b - a > 0\). Обозначим функции распределения величин \(X\) и \(Y\) через \(F_X(x)\) и \(F_Y(y)\). Каждое отдельное значение непрерывная величина принимает с вероятностью 0, поэтому равномерное распределение в промежутке \((0; 1)\) — то же, что равномерное распределение на отрезке \([0; 1]\), и \[F_X(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x < 0, \\ x, & \text{при } 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & \text{при } x > 1. \end{cases}\] Найдём \(F_Y(y) = P(Y < y)\) для любого числа \(y\). Так как \(b - a > 0\), при делении на \(b - a\) знак неравенства сохраняется: \[\begin{aligned} (b - a)X + a &< y; \qquad | -a \\ (b - a)X &< y - a; \qquad | : (b - a) \\ X &< \frac{y - a}{b - a}. \end{aligned}\] Поэтому \[F_Y(y) = P(Y < y) = P\left(X < \frac{y - a}{b - a}\right) = F_X\left(\frac{y - a}{b - a}\right).\] Если \(y < a\), то \(\frac{y - a}{b - a} < 0\) и \(F_Y(y) = 0\); если \(a \leqslant y \leqslant b\), то \(0 \leqslant \frac{y - a}{b - a} \leqslant 1\) и \(F_Y(y) = \frac{y - a}{b - a}\); если \(y > b\), то \(\frac{y - a}{b - a} > 1\) и \(F_Y(y) = 1\). Значит, \[F_Y(y) = \begin{cases} 0, & \text{при } y < a, \\ \frac{y - a}{b - a}, & \text{при } a \leqslant y \leqslant b, \\ 1, & \text{при } y > b. \end{cases}\] Это функция распределения равномерного распределения на отрезке \([a; b]\). Её производная — плотность величины \(Y\) — равна \(\frac{1}{b - a}\) при \(a < y < b\) и 0 при \(y < a\) и при \(y > b\). Значит, величина \(Y = (b - a)X + a\) имеет равномерное распределение на \((a; b)\), что и требовалось доказать.
Ответ: величина \(Y = (b - a)X + a\) равномерно распределена на \((a; b)\): её функция распределения \(F_Y(y) = F_X\left(\frac{y - a}{b - a}\right)\) равна \(\frac{y - a}{b - a}\) при \(a \leqslant y \leqslant b\), нулю левее этого отрезка и единице правее — это функция распределения равномерного распределения на \([a; b]\).
Докажите, что если случайная величина \(X\) равномерно распределена в промежутке \((0; 1)\), то \(Y = (b - a)X + a\) имеет равномерное распределение на \((a; b)\).
Промежуток \((a; b)\) задан, значит, \(a < b\) и \(b - a > 0\). Обозначим функции распределения величин \(X\) и \(Y\) через \(F_X(x)\) и \(F_Y(y)\). Концы промежутка роли не играют: каждое отдельное значение непрерывная величина принимает с вероятностью 0. Поэтому равномерное распределение в промежутке \((0; 1)\) — то же, что равномерное распределение на отрезке \([0; 1]\), и \[F_X(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x < 0, \\ x, & \text{при } 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & \text{при } x > 1. \end{cases}\] Найдём \(F_Y(y) = P(Y < y)\) для любого числа \(y\). Так как \(b - a > 0\), при делении на \(b - a\) знак неравенства сохраняется: \[\begin{aligned} (b - a)X + a &< y; \qquad | -a \\ (b - a)X &< y - a; \qquad | : (b - a) \\ X &< \frac{y - a}{b - a}. \end{aligned}\] Поэтому \[F_Y(y) = P(Y < y) = P\left(X < \frac{y - a}{b - a}\right) = F_X\left(\frac{y - a}{b - a}\right).\] Если \(y < a\), то \(\frac{y - a}{b - a} < 0\) и \(F_Y(y) = 0\); если \(a \leqslant y \leqslant b\), то \(0 \leqslant \frac{y - a}{b - a} \leqslant 1\) и \(F_Y(y) = \frac{y - a}{b - a}\); если \(y > b\), то \(\frac{y - a}{b - a} > 1\) и \(F_Y(y) = 1\). Значит, \[F_Y(y) = \begin{cases} 0, & \text{при } y < a, \\ \frac{y - a}{b - a}, & \text{при } a \leqslant y \leqslant b, \\ 1, & \text{при } y > b. \end{cases}\] Это функция распределения равномерного распределения на отрезке \([a; b]\). Её производная — плотность величины \(Y\) — равна \(\frac{1}{b - a}\) при \(a < y < b\) и 0 при \(y < a\) и при \(y > b\): плотность постоянна на промежутке \((a; b)\) и равна нулю вне отрезка \([a; b]\), как у равномерного распределения. Значит, величина \(Y = (b - a)X + a\) имеет равномерное распределение на \((a; b)\), что и требовалось доказать.
Ответ: величина \(Y = (b - a)X + a\) равномерно распределена на \((a; b)\): её функция распределения \(F_Y(y) = F_X\left(\frac{y - a}{b - a}\right)\) равна \(\frac{y - a}{b - a}\) при \(a \leqslant y \leqslant b\), нулю левее этого отрезка и единице правее — это функция распределения равномерного распределения на \([a; b]\).
