Страница 50 номер 30, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(p\) — вероятность заболеть гриппом во время эпидемии для человека, привитого новой вакциной; \(N = 200\) добровольцев заболевают независимо друг от друга с одной и той же вероятностью \(p\) (допущение модели); \(Y = \frac{40}{200} = 0{,}2\) — частота заболевших; уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
\(H_0\): \(p = 0{,}4\) — новая вакцина не эффективнее созданных ранее, привитый ею заболевает с той же вероятностью \(0{,}4\); \(H_1\): \(p < 0{,}4\) — с новой вакциной болеют реже, т. е. она эффективнее. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(Y \leqslant 0{,}4 - \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) \(P(|Y - 0{,}4| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}4\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Луч \(Y \leqslant 0{,}4 - \delta\) — часть области \(|Y - 0{,}4| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы; из равенства \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{200 \cdot 0{,}05}} = \sqrt{0{,}024} \approx 0{,}155.\]
Критическая область: \(Y \leqslant 0{,}4 - \delta \approx 0{,}245\).
Частота \(0{,}2\) меньше \(0{,}245\), т. е. попадает в критическую область: она меньше \(0{,}4\) на \(0{,}2\), а это больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}05\) можно считать, что с новой вакциной болеют реже.
Ответ: да, на уровне значимости \(0{,}05\) новую вакцину можно считать более эффективной: частота заболевших \(0{,}2\) меньше границы критической области \(0{,}4 - \delta \approx 0{,}245\).
Пусть \(p\) — вероятность заболеть гриппом во время эпидемии для человека, привитого новой вакциной. Будем считать, что 200 добровольцев заболевают независимо друг от друга с одной и той же вероятностью \(p\) (допущение модели); заболели 40 человек, частота заболевших \(Y = \frac{40}{200} = 0{,}2\). Уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
Нулевая гипотеза \(H_0\): \(p = 0{,}4\) — новая вакцина не эффективнее созданных ранее: привитый ею заболевает с той же вероятностью \(0{,}4\). Альтернатива \(H_1\): \(p < 0{,}4\) — с новой вакциной болеют реже, т. е. она эффективнее. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(Y \leqslant 0{,}4 - \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\), \(N = 200\)) \(P(|Y - 0{,}4| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}4\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Луч \(Y \leqslant 0{,}4 - \delta\) — часть области \(|Y - 0{,}4| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы. Приравняв её к уровню значимости, \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{200 \cdot 0{,}05}} = \sqrt{0{,}024} \approx 0{,}155.\]
Критическая область: \(Y \leqslant 0{,}4 - \delta \approx 0{,}245\). Частота \(0{,}2\) меньше \(0{,}245\), т. е. попадает в критическую область: она меньше \(0{,}4\) на \(0{,}2\), а это больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}05\) можно считать, что с новой вакциной болеют реже.
Ответ: да, на уровне значимости \(0{,}05\) новую вакцину можно считать более эффективной: частота заболевших \(0{,}2\) меньше границы критической области \(0{,}4 - \delta \approx 0{,}245\).
