Страница 50 номер 33, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — случайная величина, которую моделировал Андрей: по замыслу \(E(X) = 13\), стандартное отклонение \(\sigma = 2\); \(\overline{X}\) — среднее арифметическое \(N = 500\) полученных независимых значений, в опыте \(\overline{x} = 13{,}6\); уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
Если моделирование верное, то \(E(X) = 13\) — это нулевая гипотеза \(H_0\). Сомневаться в результатах стоит, если среднее значимо отклонилось от 13 в любую сторону, поэтому альтернатива двусторонняя, \(H_1\): \(E(X) \ne 13\); критическая область — \(|\overline{X} - 13| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 13\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва вероятность попасть в критическую область \(P(|\overline{X} - 13| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\); из равенства \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{2}{\sqrt{500} \cdot \sqrt{0{,}05}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = 0{,}4.\]
Критическая область: \(\overline{X} \leqslant 13 - 0{,}4 = 12{,}6\) или \(\overline{X} \geqslant 13 + 0{,}4 = 13{,}4\).
Среднее \(\overline{x} = 13{,}6\) больше \(13{,}4\), т. е. попадает в критическую область. Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}05\) можно считать, что математическое ожидание смоделированной величины отличается от 13.
Ответ: да, стоит: на уровне значимости \(0{,}05\) среднее \(13{,}6\) больше границы критической области \(13 + \delta = 13{,}4\), т. е. попадает в неё, и гипотезу о том, что \(E(X) = 13\), приходится отвергнуть.
Пусть \(X\) — случайная величина, которую моделировал Андрей: по замыслу \(E(X) = 13\), стандартное отклонение \(\sigma = 2\). Он получил \(N = 500\) независимых значений, их среднее арифметическое \(\overline{x} = 13{,}6\). Уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
Если моделирование верное, то \(E(X) = 13\): это нулевая гипотеза \(H_0\). Сомневаться в результатах стоит, если среднее значимо отклонилось от 13 в любую сторону, поэтому альтернатива двусторонняя, \(H_1\): \(E(X) \ne 13\), а критическая область — \(|\overline{X} - 13| \geqslant \delta\), где \(\overline{X}\) — среднее арифметическое 500 значений.
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 13\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва вероятность попасть в критическую область \(P(|\overline{X} - 13| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{2}{\sqrt{500} \cdot \sqrt{0{,}05}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = 0{,}4.\]
Критическая область: \(\overline{X} \leqslant 13 - 0{,}4 = 12{,}6\) или \(\overline{X} \geqslant 13 + 0{,}4 = 13{,}4\). Среднее \(\overline{x} = 13{,}6\) больше \(13{,}4\), т. е. попадает в критическую область. Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}05\) можно считать, что математическое ожидание смоделированной величины отличается от 13.
Ответ: да, стоит: на уровне значимости \(0{,}05\) среднее \(13{,}6\) больше границы критической области \(13 + \delta = 13{,}4\), т. е. попадает в неё, и гипотезу о том, что \(E(X) = 13\), приходится отвергнуть.
