Страница 50 номер 25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Сахар упаковывается в пакеты с номинальной массой 1 кг и стандартным отклонением 10 г. Случайная выборка из 16 пакетов выявила среднюю массу 1,01 кг. На уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу о том, что средняя масса пакета соответствует номиналу.
\(X\) — масса пакета сахара (г): по номиналу \(E(X) = 1000\) (1 кг), стандартное отклонение \(\sigma = 10\); \(\overline{X}\) — средняя масса \(N = 16\) случайно выбранных пакетов (независимые наблюдения), \(\overline{X} = 1{,}01\) кг, т. е. 1010 г; уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
\(H_0\): \(E(X) = 1000\) — средняя масса пакета соответствует номиналу; \(H_1\): \(E(X) \ne 1000\) (двусторонняя альтернатива); критическая область — \(|\overline{X} - 1000| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 1000\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва вероятность попасть в критическую область \(P(|\overline{X} - 1000| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\); из равенства \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{10}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{0{,}05}} = \frac{2{,}5}{\sqrt{0{,}05}} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}2.\]
Критическая область: \(\overline{X} \leqslant 1000 - \delta \approx 988{,}8\) или \(\overline{X} \geqslant 1000 + \delta \approx 1011{,}2\) (г).
\(1{,}01 - 1 = 0{,}01\) (кг), т. е. 10 г, — отклонение средней массы от номинала; оно меньше \(\delta\), и среднее 1010 г в критическую область не попадает. Значит, гипотезу \(H_0\) принимаем: на уровне значимости \(0{,}05\) нет оснований считать, что средняя масса пакета отличается от номинала.
Ответ: гипотезу о том, что средняя масса пакета соответствует номиналу, на уровне значимости \(0{,}05\) принимаем: отклонение средней массы от номинала (10 г) меньше критического \(\delta \approx 11{,}2\) г.
Сахар упаковывается в пакеты с номинальной массой 1 кг и стандартным отклонением 10 г. Случайная выборка из 16 пакетов выявила среднюю массу 1,01 кг. На уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу о том, что средняя масса пакета соответствует номиналу.
Пусть \(X\) — масса пакета сахара (г). По норме математическое ожидание массы равно номиналу 1 кг, т. е. 1000 г, а стандартное отклонение \(\sigma = 10\) г. Взвешено \(N = 16\) случайно выбранных пакетов (их массы — независимые наблюдения); средняя масса \(\overline{X} = 1{,}01\) кг, т. е. 1010 г. Уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
Проверяем гипотезу \(H_0\): \(E(X) = 1000\) — средняя масса пакета соответствует номиналу — против двусторонней альтернативы \(H_1\): \(E(X) \ne 1000\); критическая область — \(|\overline{X} - 1000| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 1000\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва вероятность попасть в критическую область \(P(|\overline{X} - 1000| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{10}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{0{,}05}} = \frac{2{,}5}{\sqrt{0{,}05}} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}2.\]
Критическое отклонение — около \(11{,}2\) г, критическая область: \(\overline{X} \leqslant 1000 - \delta \approx 988{,}8\) или \(\overline{X} \geqslant 1000 + \delta \approx 1011{,}2\) (г). Средняя масса отличается от номинала на \(1{,}01 - 1 = 0{,}01\) кг, т. е. на 10 г, — меньше \(\delta\), и среднее 1010 г в критическую область не попадает. Значит, гипотезу \(H_0\) принимаем: на уровне значимости \(0{,}05\) нет оснований считать, что средняя масса пакета отличается от номинала.
Ответ: гипотезу о том, что средняя масса пакета соответствует номиналу, на уровне значимости \(0{,}05\) принимаем: отклонение средней массы от номинала (10 г) меньше критического \(\delta \approx 11{,}2\) г.
