Страница 50 номер 26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — диаметр отверстия в шайбе (мм): по нормативу \(E(X) = 4\), стандартное отклонение \(\sigma = 0{,}2\);
\(\overline{X} = 3{,}88\) мм — средний диаметр отверстия в случайной выборке из \(N = 25\) шайб (независимые наблюдения); уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
\(H_0\): \(E(X) = 4\) — средняя величина отверстия соответствует нормативу; \(H_1\): \(E(X) \ne 4\) (двусторонняя альтернатива); критическая область — \(|\overline{X} - 4| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 4\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва вероятность попасть в критическую область \(P(|\overline{X} - 4| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\); из равенства \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{0{,}2}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{0{,}1}} = \frac{0{,}04}{\sqrt{0{,}1}} \approx 0{,}126.\]
Критическая область: \(\overline{X} \leqslant 4 - \delta \approx 3{,}874\) или \(\overline{X} \geqslant 4 + \delta \approx 4{,}126\) (мм).
\(4 - 3{,}88 = 0{,}12\) (мм) — отклонение среднего диаметра от норматива, чуть меньше \(\delta\). Запас мал, поэтому сравним точно, квадратами: \(0{,}12^2 = 0{,}0144 < \delta^2 = \frac{0{,}2^2}{25 \cdot 0{,}1} = 0{,}016\).
Значит, среднее \(3{,}88\) мм в критическую область не попадает (\(3{,}88 > 3{,}874\)), и гипотезу \(H_0\) принимаем: на уровне значимости \(0{,}1\) нет оснований считать, что средняя величина отверстия отличается от норматива.
Ответ: гипотезу о том, что средняя величина отверстия соответствует нормативу, на уровне значимости \(0{,}1\) принимаем: отклонение среднего диаметра от норматива (\(0{,}12\) мм) меньше критического \(\delta \approx 0{,}126\) мм.
Пусть \(X\) — диаметр отверстия в шайбе (мм). По нормативу \(E(X) = 4\), стандартное отклонение \(\sigma = 0{,}2\) мм. В случайной выборке из \(N = 25\) шайб (независимые наблюдения) средний диаметр отверстия \(\overline{X} = 3{,}88\) мм. Уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
Проверяем гипотезу \(H_0\): \(E(X) = 4\) — средняя величина отверстия соответствует нормативу — против двусторонней альтернативы \(H_1\): \(E(X) \ne 4\); критическая область — \(|\overline{X} - 4| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 4\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва вероятность попасть в критическую область \(P(|\overline{X} - 4| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{0{,}2}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{0{,}1}} = \frac{0{,}04}{\sqrt{0{,}1}} \approx 0{,}126.\]
Критическая область: \(\overline{X} \leqslant 4 - \delta \approx 3{,}874\) или \(\overline{X} \geqslant 4 + \delta \approx 4{,}126\) (мм). Средний диаметр отличается от норматива на \(4 - 3{,}88 = 0{,}12\) мм — чуть меньше \(\delta\). Запас мал, поэтому сравним точно, квадратами: \(0{,}12^2 = 0{,}0144 < \delta^2 = \frac{0{,}2^2}{25 \cdot 0{,}1} = 0{,}016\). Значит, среднее \(3{,}88\) мм в критическую область не попадает (\(3{,}88 > 3{,}874\)), и гипотезу \(H_0\) принимаем: на уровне значимости \(0{,}1\) нет оснований считать, что средняя величина отверстия отличается от норматива.
Ответ: гипотезу о том, что средняя величина отверстия соответствует нормативу, на уровне значимости \(0{,}1\) принимаем: отклонение среднего диаметра от норматива (\(0{,}12\) мм) меньше критического \(\delta \approx 0{,}126\) мм.
