Страница 51 номер 35, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(p\) — вероятность выпадения шестёрки на кубике, броски — независимые испытания Бернулли; \(Y\) — частота шестёрок в \(N\) бросках. Каждый из троих проверяет гипотезу \(H_0\): \(p = \frac{1}{6}\) против двусторонней альтернативы \(H_1\): \(p \ne \frac{1}{6}\) на уровне значимости \(\alpha = 0{,}1\); критическая область — \(|Y - \frac{1}{6}| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = \frac{1}{6}\) — вероятность из гипотезы \(H_0\), а не частота опыта; из равенства \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\).
\(p(1 - p) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}\) — числитель дроби под корнем.
Павел: \(N = 42\), шестёрок 14, частота \(Y = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}\).
\[\delta = \sqrt{\frac{5}{36 \cdot 42 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{\frac{5}{151{,}2}} \approx 0{,}182.\]
Отклонение \(\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\) меньше \(\delta\), поэтому в критическую область частота не попадает: \(\frac{1}{3} < \frac{1}{6} + \delta \approx 0{,}349\), а левая часть области \(Y \leqslant \frac{1}{6} - \delta\) пуста, так как \(\frac{1}{6} - \delta < 0\). Павел принимает гипотезу \(H_0\): оснований считать кубик неправильным у него нет.
Вика: \(N = 102\), шестёрок 6, частота \(Y = \frac{6}{102} = \frac{1}{17} \approx 0{,}059\).
\[\delta = \sqrt{\frac{5}{36 \cdot 102 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{\frac{5}{367{,}2}} \approx 0{,}117.\]
Отклонение \(\frac{1}{6} - \frac{1}{17} = \frac{11}{102} \approx 0{,}108\) меньше \(\delta\): частота лежит между \(\frac{1}{6} - \delta \approx 0{,}050\) и \(\frac{1}{6} + \delta \approx 0{,}283\) и в критическую область не попадает. Вика тоже принимает гипотезу \(H_0\): оснований считать кубик неправильным у неё нет.
Тимур: \(N = 210\), шестёрок 55, частота \(Y = \frac{55}{210} = \frac{11}{42} \approx 0{,}262\).
\[\delta = \sqrt{\frac{5}{36 \cdot 210 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{\frac{5}{756}} \approx 0{,}0813.\]
Отклонение \(\frac{11}{42} - \frac{1}{6} = \frac{2}{21} \approx 0{,}095\) больше \(\delta\): частота больше \(\frac{1}{6} + \delta \approx 0{,}2480\) и попадает в критическую область. Тимур отвергает гипотезу \(H_0\): на уровне значимости \(0{,}1\) у него есть основания считать, что шестёрка выпадает с вероятностью, отличной от \(\frac{1}{6}\), т. е. что кубик неправильный.
Ответ: Павел и Вика гипотезу о том, что шестёрка выпадает с вероятностью \(\frac{1}{6}\), принимают — на уровне значимости \(0{,}1\) оснований считать кубик неправильным у них нет; Тимур эту гипотезу отвергает — у него есть основания считать кубик неправильным.
Пусть \(p\) — вероятность выпадения шестёрки на кубике; броски будем считать независимыми испытаниями Бернулли. Каждый из троих проверяет гипотезу \(H_0\): \(p = \frac{1}{6}\) против двусторонней альтернативы \(H_1\): \(p \ne \frac{1}{6}\) на уровне значимости \(\alpha = 0{,}1\) по частоте \(Y\) шестёрок в своих \(N\) бросках; критическая область — \(|Y - \frac{1}{6}| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = \frac{1}{6}\) — вероятность из гипотезы \(H_0\), а не частота опыта. Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\); здесь числитель равен \(\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}\).
Павел: \(N = 42\), частота \(Y = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}\).
\[\delta = \sqrt{\frac{5}{36 \cdot 42 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{\frac{5}{151{,}2}} \approx 0{,}182.\]
Частота отклоняется от \(\frac{1}{6}\) на \(\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\) — меньше \(\delta\), поэтому в критическую область она не попадает: \(\frac{1}{3} < \frac{1}{6} + \delta \approx 0{,}349\), а левая часть области \(Y \leqslant \frac{1}{6} - \delta\) пуста, так как \(\frac{1}{6} - \delta < 0\). Павел принимает гипотезу \(H_0\): оснований считать кубик неправильным у него нет.
Вика: \(N = 102\), частота \(Y = \frac{6}{102} = \frac{1}{17} \approx 0{,}059\).
\[\delta = \sqrt{\frac{5}{36 \cdot 102 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{\frac{5}{367{,}2}} \approx 0{,}117.\]
Частота отклоняется от \(\frac{1}{6}\) на \(\frac{1}{6} - \frac{1}{17} = \frac{11}{102} \approx 0{,}108\) — меньше \(\delta\): она лежит между \(\frac{1}{6} - \delta \approx 0{,}050\) и \(\frac{1}{6} + \delta \approx 0{,}283\) и в критическую область не попадает. Вика тоже принимает гипотезу \(H_0\): оснований считать кубик неправильным у неё нет.
Тимур: \(N = 210\), частота \(Y = \frac{55}{210} = \frac{11}{42} \approx 0{,}262\).
\[\delta = \sqrt{\frac{5}{36 \cdot 210 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{\frac{5}{756}} \approx 0{,}0813.\]
Частота отклоняется от \(\frac{1}{6}\) на \(\frac{11}{42} - \frac{1}{6} = \frac{2}{21} \approx 0{,}095\) — больше \(\delta\): она больше \(\frac{1}{6} + \delta \approx 0{,}2480\) и попадает в критическую область. Тимур отвергает гипотезу \(H_0\): на уровне значимости \(0{,}1\) у него есть основания считать, что шестёрка выпадает с вероятностью, отличной от \(\frac{1}{6}\), т. е. что кубик неправильный.
Ответ: Павел и Вика гипотезу о том, что шестёрка выпадает с вероятностью \(\frac{1}{6}\), принимают — на уровне значимости \(0{,}1\) оснований считать кубик неправильным у них нет; Тимур эту гипотезу отвергает — у него есть основания считать кубик неправильным.
