Страница 50 номер 28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — длительность поездки из Калуги во Владимир (ч): до открытия новой магистрали \(E(X) = 8{,}3\), среднее квадратичное (стандартное) отклонение \(\sigma = 1{,}1\); после открытия \(\overline{X} = 7{,}5\) ч — среднее время по \(N\) поездкам, \(N = 10\) или \(N = 20\) (поездки считаем независимыми наблюдениями, а стандартное отклонение — прежним: допущение модели).
\(H_0\): \(E(X) = 8{,}3\) — новый маршрут не быстрее прежнего; \(H_1\): \(E(X) < 8{,}3\) — новый маршрут выгоднее. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(\overline{X} \leqslant 8{,}3 - \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для среднего \(N\) независимых наблюдений \(P(|\overline{X} - 8{,}3| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\); луч — часть области \(|\overline{X} - 8{,}3| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы. Из равенства \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\), где \(\alpha\) — уровень значимости, получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\).
\(8{,}3 - 7{,}5 = 0{,}8\) (ч) — на столько среднее время меньше прежнего; оно попадает в критическую область, когда \(\delta \leqslant 0{,}8\).
Уровень значимости в условии не задан; проверим гипотезу на уровнях \(0{,}1\) и \(0{,}05\).
\(\alpha = 0{,}1\), 10 поездок: \(\delta = \frac{1{,}1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{0{,}1}} = 1{,}1\) — больше \(0{,}8\): среднее \(7{,}5\) ч не попадает в критическую область \(\overline{X} \leqslant 8{,}3 - 1{,}1 = 7{,}2\), гипотезу \(H_0\) принимаем.
\(\alpha = 0{,}1\), 20 поездок: \(\delta = \frac{1{,}1}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{0{,}1}} = \frac{1{,}1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}778\) — меньше \(0{,}8\). Запас мал, поэтому сравним точно, квадратами: \(0{,}8^2 = 0{,}64 > \delta^2 = \frac{1{,}1^2}{2} = 0{,}605\). Значит, среднее \(7{,}5\) ч попадает в критическую область \(\overline{X} \leqslant 8{,}3 - \delta \approx 7{,}522\), и гипотезу \(H_0\) отвергаем.
\(\alpha = 0{,}05\), 10 поездок: \(\delta = \frac{1{,}1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{0{,}05}} = 1{,}1\sqrt{2} \approx 1{,}56\).
\(\alpha = 0{,}05\), 20 поездок: \(\delta = \frac{1{,}1}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{0{,}05}} = 1{,}1\).
Оба значения больше \(0{,}8\): среднее \(7{,}5\) ч в критическую область не попадает, гипотезу \(H_0\) принимаем. На уровне \(0{,}01\) критическое отклонение ещё больше (\(\delta\) обратно пропорционально \(\sqrt{\alpha}\)), поэтому тем более гипотезу \(H_0\) принимаем и для 10, и для 20 поездок.
Ответ: уровень значимости в условии не задан. На уровне значимости \(0{,}1\) по 10 поездкам считать новый маршрут выгоднее нельзя, а по 20 поездкам — можно; на уровне \(0{,}05\) (и тем более \(0{,}01\)) считать новый маршрут выгоднее нельзя ни по 10, ни по 20 поездкам.
Пусть \(X\) — длительность поездки из Калуги во Владимир (ч). До открытия новой магистрали \(E(X) = 8{,}3\), среднее квадратичное (стандартное) отклонение \(\sigma = 1{,}1\). После открытия среднее время по \(N\) поездкам \(\overline{X} = 7{,}5\) ч, где \(N = 10\) или \(N = 20\); поездки будем считать независимыми наблюдениями, а стандартное отклонение — прежним (допущение модели).
Нулевая гипотеза \(H_0\): \(E(X) = 8{,}3\) — новый маршрут не быстрее прежнего; альтернатива \(H_1\): \(E(X) < 8{,}3\) — новый маршрут выгоднее. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(\overline{X} \leqslant 8{,}3 - \delta\). Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для среднего \(N\) независимых наблюдений \(P(|\overline{X} - 8{,}3| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Луч — часть области \(|\overline{X} - 8{,}3| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы. Приравняв её к уровню значимости, \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\). Среднее время меньше прежнего на \(8{,}3 - 7{,}5 = 0{,}8\) ч, поэтому оно попадает в критическую область, когда \(\delta \leqslant 0{,}8\).
Уровень значимости в условии не задан; проверим гипотезу на уровнях \(0{,}1\) и \(0{,}05\).
При \(\alpha = 0{,}1\) для 10 поездок \(\delta = \frac{1{,}1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{0{,}1}} = 1{,}1\) — больше \(0{,}8\): среднее \(7{,}5\) ч не попадает в критическую область \(\overline{X} \leqslant 8{,}3 - 1{,}1 = 7{,}2\), гипотезу \(H_0\) принимаем. Для 20 поездок \(\delta = \frac{1{,}1}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{0{,}1}} = \frac{1{,}1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}778\) — меньше \(0{,}8\). Запас мал, поэтому сравним точно, квадратами: \(0{,}8^2 = 0{,}64 > \delta^2 = \frac{1{,}1^2}{2} = 0{,}605\). Значит, среднее \(7{,}5\) ч попадает в критическую область \(\overline{X} \leqslant 8{,}3 - \delta \approx 7{,}522\), и гипотезу \(H_0\) отвергаем.
При \(\alpha = 0{,}05\) для 10 поездок \(\delta = \frac{1{,}1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{0{,}05}} = 1{,}1\sqrt{2} \approx 1{,}56\), для 20 поездок \(\delta = \frac{1{,}1}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{0{,}05}} = 1{,}1\). Оба значения больше \(0{,}8\): среднее \(7{,}5\) ч в критическую область не попадает, гипотезу \(H_0\) принимаем. На уровне \(0{,}01\) критическое отклонение ещё больше (\(\delta\) обратно пропорционально \(\sqrt{\alpha}\)), поэтому тем более гипотезу \(H_0\) принимаем и для 10, и для 20 поездок.
Ответ: уровень значимости в условии не задан. На уровне значимости \(0{,}1\) по 10 поездкам считать новый маршрут выгоднее нельзя, а по 20 поездкам — можно; на уровне \(0{,}05\) (и тем более \(0{,}01\)) считать новый маршрут выгоднее нельзя ни по 10, ни по 20 поездкам.
