Страница 90 номер 59, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

Будем считать, что зал заполнен — пришли 1000 зрителей — и каждый зритель независимо от остальных входит через любой из двух входов с вероятностью \(\frac{1}{2}\) (допущения модели). Пусть \(X\) — число зрителей, вошедших через первый вход; тогда через второй вошли \(1000 - X\) зрителей. Величина \(X\) — число успехов в \(N = 1000\) испытаниях Бернулли, \(p = q = \frac{1}{2}\):

\[\begin{aligned} Np &= 1000 \cdot \frac{1}{2} = 500; \\ Npq &= 1000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 250. \end{aligned}\]

Условия применимости формулы Муавра — Лапласа выполнены: \(N = 1000 \geqslant 50\), \(Np = Nq = 500 \geqslant 10\).

Пусть в каждом гардеробе \(M\) мест. Все зрители разденутся в своём гардеробе, когда \(X \leqslant M\) и \(1000 - X \leqslant M\), т. е. \(1000 - M \leqslant X \leqslant M\). «В среднем в 9 случаях из 10» означает, что вероятность этого события должна быть не меньше \(0{,}9\). По формуле Муавра — Лапласа, учитывая нечётность функции Лапласа,

\[\begin{aligned} &P(1000 - M \leqslant X \leqslant M) \approx {} \\ &\approx \Phi_0\left(\frac{M + 0{,}5 - 500}{\sqrt{250}}\right) - \Phi_0\left(\frac{1000 - M - 0{,}5 - 500}{\sqrt{250}}\right) = {} \\ &= \Phi_0\left(\frac{M - 499{,}5}{\sqrt{250}}\right) - \Phi_0\left(-\frac{M - 499{,}5}{\sqrt{250}}\right) = 2\Phi_0\left(\frac{M - 499{,}5}{\sqrt{250}}\right). \end{aligned}\]

Нужно, чтобы \(2\Phi_0\left(\frac{M - 499{,}5}{\sqrt{250}}\right) \geqslant 0{,}9\), т. е. \(\Phi_0\left(\frac{M - 499{,}5}{\sqrt{250}}\right) \geqslant 0{,}45\). В таблице значений функции Лапласа \(\Phi_0(1{,}64) = 0{,}4495 < 0{,}45\), \(\Phi_0(1{,}65) = 0{,}4505\): первое значение аргумента, при котором \(\Phi_0(x) \geqslant 0{,}45\), равно \(1{,}65\). Функция \(\Phi_0\) возрастает, поэтому

\[\begin{aligned} \frac{M - 499{,}5}{\sqrt{250}} &\geqslant 1{,}65; \\ M &\geqslant 499{,}5 + 1{,}65\sqrt{250} \approx 525{,}59. \end{aligned}\]

Наименьшее целое \(M = 526\). Проверим подстановкой \(M = 526\) и \(M = 525\): аргумент функции Лапласа равен \(\frac{26{,}5}{\sqrt{250}} \approx 1{,}68\) и \(\frac{25{,}5}{\sqrt{250}} \approx 1{,}61\), поэтому

\[\begin{aligned} P(474 \leqslant X \leqslant 526) &\approx 2\Phi_0(1{,}68) \approx 2 \cdot 0{,}4535 = 0{,}907; \\ P(475 \leqslant X \leqslant 525) &\approx 2\Phi_0(1{,}61) \approx 2 \cdot 0{,}4463 = 0{,}8926. \end{aligned}\]

Значит, при 526 местах в каждом гардеробе все зрители разденутся в своём гардеробе с вероятностью около \(0{,}9\), а при 525 местах эта вероятность меньше \(0{,}9\).

Неравенство Чебышёва при тех же данных даёт 550 мест в каждом гардеробе — оно верно для любой случайной величины с такими же математическим ожиданием и дисперсией; формула Муавра — Лапласа даёт приближённый, но более точный ответ, потому что учитывает близость биномиального закона к нормальному.

Ответ: по 526 мест в каждом гардеробе.