Вопросы к пункту 3 «Распределение Пуассона» на странице 80, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Вопросы к пункту 3 «Распределение Пуассона».

Распределение Пуассона \(\mathbf{P}(\lambda)\) с параметром \(\lambda > 0\) — это распределение дискретной случайной величины \(X\), которая принимает значения \(0, 1, 2, \ldots\) с вероятностями

\[P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots .\]

Такое распределение имеет число событий потока (звонков, поломок, покупателей), произошедших за единицу времени, если вероятность события за малый промежуток времени пропорциональна длине промежутка, а числа событий в непересекающихся промежутках не зависят друг от друга. Если разбить единицу времени на \(N\) равных частей, то при большом \(N\) в каждую часть попадает одно событие с вероятностью \(p \approx \frac{\lambda}{N}\) или ни одного, поэтому \(X\) — число успехов в \(N\) испытаниях Бернулли, а распределение Пуассона — предел биномиального распределения \(\mathbf{Bin}\left(N;\ \frac{\lambda}{N}\right)\) при \(N \to \infty\). Его называют ещё законом редких событий: испытаний очень много, а вероятность успеха в каждом мала.

Например, если на странице книги в среднем \(0{,}5\) опечатки, то число опечаток на странице имеет распределение \(\mathbf{P}(0{,}5)\): страница без опечаток встречается с вероятностью \(P(X = 0) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}607\), с одной опечаткой — с вероятностью \(P(X = 1) = 0{,}5e^{-0{,}5} \approx 0{,}303\).

Ответ: распределение дискретной величины, принимающей значения \(0, 1, 2, \ldots\) с вероятностями \(P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\), где \(\lambda > 0\) — параметр; так распределено число событий потока за единицу времени, это предел биномиального распределения при очень большом числе испытаний и малой вероятности успеха.

Распределение Пуассона имеет число событий, когда возможностей для события очень много, каждая осуществляется независимо от остальных и с малой вероятностью, а среднее число событий постоянно.

Число звонков, поступающих в кол-центр за минуту; число поломок оборудования за месяц; число покупателей, вошедших в магазин за 10 минут; число вызовов скорой помощи за час — это числа событий потока за единицу времени.

Число изюминок в булке, если изюм тщательно перемешан с большим объёмом теста: каждая изюминка попадает в данную булку с малой вероятностью. Так же распределены число микробов в единице объёма жидкости, число звёзд, видимых на единице площади небесной сферы, число бракованных изделий в партии, число опечаток на странице книги.

Ответ: например, число звонков в кол-центр за минуту, число поломок оборудования за месяц, число изюминок в булке, число микробов в единице объёма жидкости, число бракованных изделий в партии, число опечаток на странице книги.

Для величины \(X\) с распределением \(\mathbf{P}(\lambda)\)

\[E(X) = 0 \cdot e^{-\lambda} + 1 \cdot \frac{\lambda}{1!}e^{-\lambda} + 2 \cdot \frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda} + \ldots = \lambda.\]

Эту бесконечную сумму вычисляют методами высшей математики. Результат согласуется с тем, что распределение Пуассона — предел биномиального распределения \(\mathbf{Bin}\left(N;\ \frac{\lambda}{N}\right)\), у которого математическое ожидание \(Np = N \cdot \frac{\lambda}{N} = \lambda\) при любом \(N\). Значит, параметр \(\lambda\) — среднее число событий за единицу времени; поэтому его и называют интенсивностью потока событий. Например, у числа опечаток на странице с распределением \(\mathbf{P}(0{,}5)\) математическое ожидание равно \(0{,}5\).

Ответ: \(E(X) = \lambda\).

Оба распределения описывают один и тот же поток случайных событий с интенсивностью \(\lambda\) (звонки, поломки, покупатели) и выводятся из одних и тех же предположений: вероятность события за малый промежуток времени пропорциональна его длине, а события в непересекающихся промежутках не зависят друг от друга. Время \(T\) ожидания очередного события — непрерывная величина с показательным распределением \(\mathbf{Exp}(\lambda)\), а число \(X\) событий за единицу времени — дискретная величина с распределением Пуассона \(\mathbf{P}(\lambda)\). Параметр у них общий: за единицу времени происходит в среднем \(E(X) = \lambda\) событий, а очередного события ждут в среднем \(E(T) = \frac{1}{\lambda}\).

Связь видна и по формулам. За единицу времени не произойдёт ни одного события тогда и только тогда, когда время ожидания первого события не меньше 1. По распределению Пуассона \(P(X = 0) = e^{-\lambda}\), по показательному \(P(T \geqslant 1) = 1 - F(1) = e^{-\lambda}\), где \(F\) — функция распределения величины \(T\), — вероятности совпадают. Например, если звонки в кол-центр поступают в среднем \(1{,}5\) в минуту, то минута без звонков бывает с вероятностью \(e^{-1{,}5} \approx 0{,}223\).

Ответ: оба распределения описывают один поток событий с интенсивностью \(\lambda\): время ожидания очередного события имеет показательное распределение \(\mathbf{Exp}(\lambda)\), а число событий за единицу времени — распределение Пуассона \(\mathbf{P}(\lambda)\); например, \(P(X = 0) = P(T \geqslant 1) = e^{-\lambda}\).