Страница 50 номер 34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(Y\) — частота успехов в \(N = 500\) смоделированных испытаниях Бернулли: успехов 80, \(Y = \frac{80}{500} = 0{,}16\); \(p\) — вероятность успеха в одном испытании; уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
Если моделирование верное, то \(p = 0{,}2\) — это нулевая гипотеза \(H_0\). Сомневаться в результатах стоит, если частота значимо отклонилась от \(0{,}2\) в любую сторону, поэтому альтернатива двусторонняя, \(H_1\): \(p \ne 0{,}2\); критическая область — \(|Y - 0{,}2| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - 0{,}2| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}2\) — вероятность из гипотезы \(H_0\); из равенства \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{500 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{0{,}0032} \approx 0{,}0566.\]
Критическая область: \(Y \leqslant 0{,}2 - \delta \approx 0{,}1434\) или \(Y \geqslant 0{,}2 + \delta \approx 0{,}2566\).
Частота \(0{,}16\) лежит между этими границами и в критическую область не попадает: она отклоняется от \(0{,}2\) на \(0{,}2 - 0{,}16 = 0{,}04\), а это меньше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) принимаем: на уровне значимости \(0{,}1\) нет оснований сомневаться в правильности результатов.
В ответе учебника интервал \((0{,}12;\ 0{,}28)\) отвечает уровню значимости \(0{,}05\): \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{500 \cdot 0{,}05}} = 0{,}08\); частота \(0{,}16\) лежит и в нём, вывод тот же.
Ответ: нет, не стоит: на уровне значимости \(0{,}1\) частота успехов \(0{,}16\) лежит между \(0{,}2 - \delta \approx 0{,}1434\) и \(0{,}2 + \delta \approx 0{,}2566\), т. е. не попадает в критическую область.
Пусть \(Y\) — частота успехов в \(N = 500\) смоделированных испытаниях Бернулли: успехов 80, поэтому \(Y = \frac{80}{500} = 0{,}16\). Уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
Пусть \(p\) — вероятность успеха в одном испытании. Если моделирование верное, то \(p = 0{,}2\) — это нулевая гипотеза \(H_0\). Сомневаться в результатах стоит, если частота значимо отклонилась от \(0{,}2\) в любую сторону, поэтому альтернатива двусторонняя, \(H_1\): \(p \ne 0{,}2\), а критическая область — \(|Y - 0{,}2| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - 0{,}2| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}2\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{500 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{0{,}0032} \approx 0{,}0566.\]
Критическая область: \(Y \leqslant 0{,}2 - \delta \approx 0{,}1434\) или \(Y \geqslant 0{,}2 + \delta \approx 0{,}2566\). Частота \(0{,}16\) лежит между этими границами и в критическую область не попадает: она отклоняется от \(0{,}2\) на \(0{,}2 - 0{,}16 = 0{,}04\), а это меньше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) принимаем: на уровне значимости \(0{,}1\) нет оснований сомневаться в правильности результатов.
В ответе учебника интервал \((0{,}12;\ 0{,}28)\) отвечает уровню значимости \(0{,}05\): \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{500 \cdot 0{,}05}} = 0{,}08\); частота \(0{,}16\) лежит и в нём, вывод тот же.
Ответ: нет, не стоит: на уровне значимости \(0{,}1\) частота успехов \(0{,}16\) лежит между \(0{,}2 - \delta \approx 0{,}1434\) и \(0{,}2 + \delta \approx 0{,}2566\), т. е. не попадает в критическую область.
