Страница 88 номер 45, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Светофор на пешеходном переходе одну минуту разрешает переходить улицу, а две минуты запрещает. Найдите среднее время ожидания зелёного света пешеходом, который подошёл к перекрёстку.
Цикл светофора длится \(1 + 2 = 3\) мин: 1 мин горит зелёный свет, 2 мин — красный. Пешеход подходит к переходу в случайный момент, поэтому по геометрическому определению вероятности момент его прихода попадает на какой-либо участок цикла с вероятностью, равной длине участка, делённой на 3. \(W\) — время ожидания зелёного света (в минутах).
Если пешеход подошёл при зелёном свете, ждать не нужно: \(W = 0\), и вероятность этого равна \(\frac13\). Если он подошёл при красном свете (вероятность \(\frac23\)), то \(W\) — время, оставшееся до конца красного, — может быть любым числом от 0 до 2. При \(0 \leqslant a < b \leqslant 2\) событие \(a < W < b\) означает, что пешеход подошёл, когда до конца красного оставалось от \(a\) до \(b\) минут, то есть момент его прихода попал на участок цикла длиной \(b - a\), поэтому \[P(a < W < b) = \frac{b - a}{3} = \int_a^b \frac13\,dt.\] Значит, \(W\) — «смесь» дискретной и непрерывной величин: значение 0 она принимает с вероятностью \(\frac13\), а на промежутке \((0; 2]\) распределена с плотностью \(\frac13\).
Математическое ожидание такой величины складывается из суммы произведений значений на их вероятности по отдельному значению \(W = 0\) и интеграла по непрерывной части: на непрерывной части сумма переходит в интеграл — так же, как при выводе формулы математического ожидания непрерывной величины. Поэтому \[E(W) = 0 \cdot \frac13 + \int_0^2 t \cdot \frac13\,dt = \frac{t^2}{6}\,\Big|_0^2 = \frac46 = \frac23.\]
Ответ: \(\frac23\) мин, т. е. 40 с.
Светофор на пешеходном переходе одну минуту разрешает переходить улицу, а две минуты запрещает. Найдите среднее время ожидания зелёного света пешеходом, который подошёл к перекрёстку.
Цикл светофора длится \(1 + 2 = 3\) мин: 1 мин горит зелёный свет, 2 мин — красный. Пешеход подходит к переходу в случайный момент, поэтому по геометрическому определению вероятности момент его прихода попадает на какой-либо участок цикла с вероятностью, равной длине участка, делённой на 3. Пусть \(W\) — время ожидания зелёного света (в минутах).
Если пешеход подошёл при зелёном свете, ждать не нужно: \(W = 0\), и вероятность этого равна \(\frac13\). Если он подошёл при красном свете (вероятность \(\frac23\)), то \(W\) — время, оставшееся до конца красного, и оно может быть любым числом от 0 до 2. При \(0 \leqslant a < b \leqslant 2\) событие \(a < W < b\) означает, что пешеход подошёл, когда до конца красного оставалось от \(a\) до \(b\) минут, т. е. момент его прихода попал на участок цикла длиной \(b - a\), поэтому \[P(a < W < b) = \frac{b - a}{3} = \int_a^b \frac13\,dt.\] Значит, величина \(W\) — «смесь» дискретной и непрерывной величин: значение 0 она принимает с вероятностью \(\frac13\), а на промежутке \((0; 2]\) распределена с плотностью \(\frac13\); всего \(\frac13 + 2 \cdot \frac13 = 1\).
Математическое ожидание такой величины складывается из суммы произведений значений на их вероятности по отдельному значению \(W = 0\) и интеграла по непрерывной части: на непрерывной части сумма переходит в интеграл — так же, как при выводе формулы математического ожидания непрерывной величины. Поэтому \[E(W) = 0 \cdot \frac13 + \int_0^2 t \cdot \frac13\,dt = \frac{t^2}{6}\,\Big|_0^2 = \frac46 = \frac23.\] Среднее время ожидания зелёного света — \(\frac23\) мин, т. е. 40 с.
Ответ: \(\frac23\) мин, т. е. 40 с.
